7-6线性微分方程解的结构教程.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程解 第七节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *一、二阶线性微分方程举例 第七章 证毕 二、线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( ,  )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 (证明略) 线性无关 定理 2. 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 (自证) 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 三、线性非齐次方程解的结构 定理 3. 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将 代入方程①左端, 得 ② ① 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 证毕 因而 ② 也是通解 . 定理 4. 分别是方程 的特解, 是方程 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理 5. 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 常数, 则该方程的通解是 ( ). 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解, 是任意 例3. 提示: 都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . (反证法可证) (89 考研 ) 例4. 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解 . 解: 是对应齐次方程的解, 且 常数 因而线性无关, 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 有三 线性微分方程通解的结构： 1、齐次线性方程通解的结构； 2、非齐次线性方程通解的结构。 两个函数线性无关的充分必要条件。 12/12 三、小结 四、作业 P331 3 *一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程: 阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 则得强迫振动方程: 机动 目录 上页 下页 返回 结束