A-1不定积分概念与换元.ppt

第四章 不定积分 本章重点 §1 . 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 问题 定义2： 不定积分的几何意义: 积分号与微分号的作用相互抵消。 二、 基本积分表 例题讨论 三、 不定积分的性质 课外作业 §2. 换元积分法 一、第一类换元法 课外作业 二、 第二类换元法 例题讨论 课外作业 例7： 例8： 2 例9： 一般： 例10： 例11： 一般对： 习题 4 — 2（A） 1, 2, 3(2, 4, 6, 7, 9, 11), 4(1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12) 习题 4 — 2（B） 1(偶数), 2(1, 3, 5, 7, 8, 10)3(1, 3, 4, 6), 4 （ 变量代换法） 定理 2. 设 x = ψ (t) 是单调的可导函数， 换元公式： 令 x = ψ (t)， 回代： 1. 三角代换 例1： 分析： 目的：消去根式。 利用三角恒等式： 若令 x = a sin t , 被积函数 例1： 解： 令 x = a sin t , d x = a cos t d t , Sin 2t =? t x a 例2： 分析： 若令 x = a tan t , 解： 令 x = a tan t , d x = a sec 2 t d t . t x a 也可令 x = a sh t ( t 0 ) 解： 令 x = a sh t ， d x = a ch t d t , 例3： 分析： 若令 x = a sec t , 解： 令 x = a sec t , d x = a sec t tan t d t , t x a * 不定积分的概念与性质 不定积分的计算 第一类换元法（凑微分法） 第二类换元法（变量代换法） 分部积分法 有理函数的积分 互为逆运算 例已知物体运动的位置函数s=s(t)，求时刻t的瞬时速度v=s’(t)。——微分学解决的问题 已知物体运动的速度函数v=v(t)，求运动的位置函数s=s(t)。——积分学解决的问题 一般，已知函数f(x),要找另一个函数F(x),使F’(x)=f(x)。 —— 积分学的任务 定义1： 已知 f (x) 是一个定义在区间 I 内的函数， 则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。 如： ∴ x 2 是 2 x 的原函数; d sin x = cos x d x, ∴ sin x 是 cos x 的原函数; ∴ s (t) 是 v (t) 的原函数。 如果存在函数 F (x) , 使在 I 内的任一点都有 ∴F (x) + C 包含了 f (x) 的所有原函数。 1. 是否所有的函数都具有原函数？ 在什么条件下，f (x) 一定存在原函数？ 原函数存在定理： 若 f (x) 在区间 I 上连续， 则在 I 上必存在原函数。 2. 连续函数 f (x) 的原函数是否只有一个？ 设F (x) 为 f (x) 的原函数， 它们之间有何关系？ 函数 f (x) 的全体原函数 就称为 不定积分。记作 其中 —— 积分号 f (x) —— 被积函数 f (x) d x —— 被积表达式 x —— 积分变量 例： 若F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则 F (x) 的图形称为 f (x) 的一条积分曲线， 方程为 y = F (x) . 就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C . 它们在相同点处有相同的切线斜率。 x y 0 x 由不定积分的定义， 则有 又 或 积分号与微分号的作用抵消后加任意常数C。 例： 求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的切线斜率均为 6 x 的一条曲线。 解： 设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x,y)的切线斜率 两边取不定积分： 为一簇积分曲线。 ( P. 186 ) ② 注意： ③ 依基本导数公式与不定积分的定义， 既可得基本积分各式（15个）： （代数5个、三角6个、指数4个）。 求下列不定积分： 例1. 例2. 性质 1. 函数和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。 性质 2. 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外。 （P. 187 — 188） 利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意3点： 1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。可在积分号全部不出现后，简写为一个常数。 2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，看它的导数是否等于被积函数即可。 3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的x可用其它变量u替代，公式仍正确。 技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。 例3.