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第八章 状态变量分析法;序;研究单输入－单输出系统； 着眼于系统的外部特性； 基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的概念。; 状态变量分析法用状态变量描述系统的内部变量特性，并通过状态变量将系统的输入和输出联系起来，以描述系统的外部特性。因此，状态变量分析法又叫作内部法。与端口分析法相比，该分析方法具有以下优点： 提供了系统的内部特征，为研究和设计带来方便。 便于分析具有多个输入、多个输出的系统 容易推广应用于时变系统或非线性系统 只有一阶微分(或差分)方程组，便于计算机进行数值计算。;§ 8-1 状态、状态变量和状态方程; 设系统有n 个状态变量 ，它们都是时 间 t 的 函 数， 系 统 的 每 一 个 状 态 都 可 以 在 一 个 由 为轴的 n 维状???空间上的一点来表示，用向量形式表示就是: ;设系统的控制输入为： ，它们也是时间的函数。记作： 或写成矩阵形式 那么表示系统状态变量随系统输入以及时间变化的规律的方程就是系统的状态方程，如下式所示。;其中 是一个函数矢量。 ; 本书主要考虑线性时不变 (LTI) 系统。这时，系统的动态方程可以表示如下：;即;;上式中， 称为系统矩阵， 称为输入 (或控制) 矩阵。 由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而 则主要体现了系统输入的施加情况。 矩阵称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系， 矩阵称为直接转移矩阵， 表示了控制向量 f(t) 直接转移到输出变量 y(t) 的转移关系。;表示的系统动态方程用框图表示为：;§ 8-2 状态方程的建立;8-2-1 连续系统状态方程的建立;（1）根据电路建立状态方程;例8-1 ;若以 iC(t) 和 u(t) 为输出方程;;写成矢量形式为：;可见，电路的状态方程是一组一阶微分方程组，其列写过程较为繁复，尤其当电路结构较为复杂，动态元件数目较多时，更是如此；而输出方程是一组代数方程，它的列写较为简便。实际上，这些方程均可利用有关软件由计算机完成。;② 状态轨迹 uC(t) 与iL(t)所有可能值的集合构成了二维状态空间，任意时刻的uC(t) 与iL(t) 可用该二维空间的一点来表示，当时间 t 变动时，它所描绘的曲线就是状态轨迹。 如上例所示的电路，设L=0.5H，C=0.5F；RL=0， RC=0 ；各初始状态uC(0) =0；iL(0)=0 ，输入激励 iS(t)=ε(t) 则状态变量的解为 ;若以 iL(t) 为横坐标，以 uC(t) 为纵坐标，则其状态轨迹如图所示。状态轨迹形象地表明了系统的状态变量uC(t) 和 iL(t) 随时间的变化规律。对于三维以上的状态矢量，虽然不能直观地作出它的几何图形，但状态空间和状态轨迹的概念仍然是普遍适用的。;③ 独立状态变量数确定 ;图 (c) 是电路中只含电感的一个割集（节点），根据KCL，图(c)中任一电感电流都能由其余两个电感电流来表示，它们之中也只有两个是独立状态变量。图(d)只有一个电感电流是独立状态变量。选取哪些变量为独立状态变量根据需求确定。;系统所含独立变量的个数又称作系统复杂度的阶数，通常用 n 来表示，若用 bLC 表示电路所含储能元件的个数，nC 表示电路中仅有电容 ( 或电压源 ) 组成的独立回路 ( 常称为全电容回路 ) 的总数，用 nL 表示电路中仅有电感 ( 或电流源 ) 组成的独立割集(常称为全电感割集)的总数，则;例8-2 ;根据电容回路的KVL，有;将式(2)代人式(4)，得;综合式(5)和式(6)，得标准的状态方程为;例8-3 ;若将电容用电压源，电感用电流源替代，得如图7-6 (b)所示的直流电路。分别在此直流电路中求取 uL1, uL2 , iC 。为了方便，列写直流电路的节点方程，;联立式（1）和式（2）得：;整理得状态方程为：;输出方程为：; 由此例可以看出，常态网络采用直流电路的方法列写状态方程和输出方程简化了运算步骤，使最后的计算归结为对电阻电路的计算。