常微分方程第1章绪论.pptVIP

序：什么是方程？ 微分方程及其应用 微分方程的基本概念 小结; 在初等数学中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程和对数方程等等。 在高等代数中又学习过高次代数方程，n元线性代数方程组。 这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。但在高等数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在这类方程中，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值，而是一个函数。这类方程称为函数方程。; 例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下，由方程 (*) 来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求的未知函数。;返回; 方程（*）和方程（**）共同之处在于未知的都是函数???不同处在于方程（*）中只有未知函数本身，而方程（**）中却出现了未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往往不能直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它们和其变化率（导数）之间的规律，于是，把包含未知函数导数的方程叫做微分方程.; 数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系 (即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式.; 微分方程是数学中的古老分支之一．它与动力系统紧密相关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题．; 偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约关系的有力工具．它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工程技术中的有关问题．在本世纪中偏微分方程的理论取得了重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性的研究还有许多问题．;三、物体冷却过程的数学模型 ; 了解有关物体温度变化的基本规律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛顿（Newton）冷却定律. ;假设：设物体在时刻的温度为 ，则温度的变化速度以 来表示。注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的。因而 ，所以温差 恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度 恒为负。因此由牛顿冷却规律得到 ：;改写（1.1）为：;问题二：数学摆（下图）的运动方程(下面三个方程).;问题三 ：R-L-C电路电流方程； 问题四：R-L电路电流方程； 其它问题：人口模型、传染病模型、两种生物种群生态模型、 天气预报模型（Lorenz方程）和化学动力学模型等; 前面介绍一些物理背景，其实在自然科学和技术科学的其它领域中，例如化学、生物学、自动控制、电子技术、分支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性等等，都提出了大量的微分方程问题. 同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题.; 因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.;第二节 微分方程的基本概念;设 是自变量 的已知连续函数 ,试求函数 满足方程 ;2、什么是常微分方程？;3、微分方程的阶 ;4、线性和非线性 ;5、解和隐式解 ;6、通解和特解 ;定解问题：求微分方程满足定解条件（初始条件）的解. 初值问题(柯西Cauchy问题)：当定解条件是初始条件时，相应的 　　定解问题就称为初值问题.这是本课程讨论的重点. 特　　解：把满足初始条件的解称为微分方程的特解．初始条件 　　　　　不同对应的特解也不同，一般来说，特解可以通过初 　　　　　始条件的限制，从通解中确定任意常数而得到. ;例１实例分析;O;　　微分方程(1.17)的通解 代表xy平面上的一族曲线，就称之为微分方程的积分曲线族。;方向场;图1.2; ;例4 考察方程 ;8、微分方程组;高阶微分方程