6猜想与反驳.ppt

数学思想方法;第六章 猜想与反驳;一、归纳 归纳法使通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，它与演绎法被认为思维中两个重要的推理方法。 归纳法的本质特征是从已知到未知，从特殊到一般，从个性到共性，从经验事实到事物内在规律的飞跃过程。;二、归纳的类型 1．不完全归纳法 不完全归纳法是根据对某类事物中的部分对象的分析，作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。其一般形式是： 设 由于 具有属性p， 具有属性p，…， 具有属性p，因此推断 S 类事物中的每一对象都有可能具有属性p。;2．完全归纳法 完全归纳法是根据对某类事物中的每个对象的情况分析，进而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。 完全归纳法的一般形式是： 设 设由于 具有属性p， 具有属性p，…， 具有属性p，因此推断 S 类事物中的每一对象都有可能具有属性p。;完全归纳法在数学教学中有着广泛的应用，常用于叙述概念、归纳结论、同一定义和证明定理等。 由于完全归纳法得出的结论是可靠的，具有确定性，因此完全归纳法可作为一种严格的论证方法。完全归纳法实质属于演绎推理的范畴。 完全归纳法有两种情况：穷举归纳和分类归纳。 完全归纳法有助于提高思维的全面性，培养周密地思考问题的习惯和能力。;三、归纳猜想 1．数学猜想 数学问题产生的主要来自三个方面： ⑴人们的社会实践 ⑵自然科学的刺激 ⑶数学内部的需要 猜想不同于已被实践和理论证明了的科学理论，也有别于毫无根据的胡思乱想。猜想具有两个显著的特点：具有一定的科学性，具有一定的猜测性，即结论可能是正确的，也可能是错误的。;2．归纳猜想 人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，就是猜想，这种思维方法称为归纳猜想。 归纳猜想的思维步骤是： 特例—归纳—猜想。 ;第二节 类比猜想 ;类比推理通常可用下列形式来表示： A 具有性质 及d B具有性质 因此B 也可能具有属性d’。;增加类比的可???性，应尽量满足下列条件： ①A 与B 共同（或相似）的属性尽可能地多； ②这些共同（或相似）属性应是类比对象A 与B的主要属性； ③这些共同（或相似）属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能地是多方面的； ④可迁移的属性d’应该是和 属于同一类型。;二、类比的类型;2．深层类比(方法或模式上的纵向类比) 深层类比又称实质性类比。它是通过对被比较对象的处于相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析而得到的类比。这种纵向类比是在数学的同一分支内的一种类比。例如空间问题用平面为前提来分析，多元问题用一元问题来分析等。;3．沟通类比（各分科之间的类比） 这种类比于深层类比的区别是：深层类比所类比的方法或模式是比较简单的模仿，不如沟通类比深刻；沟通类比所涉及的对象之间的类比不是一眼就看出来的，要经过适当的联想才能想出来的。;三、类比猜想;尽管类比法有着广泛的应用，但它毕竟是一种合理推理，有类比得出的正确结论虽然很多，可是有类比导出的错误结论也是不少见的。因此，类比得到的结论正确与否，还要经过严格的证明。;第三节 反倒反驳;反例反驳在逻辑上的依据是：如果命题成立，则命题应该对一切特例都成立；既然现在有一个反例的特例与命题矛盾，因此这个命题就不成立。反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。由此可见。否定一个猜想的反例应该具备如下两个条件： ①反例满足构成猜想的所有条件； ②反例与构成猜想的结论矛盾。;二、反例在数学发展中的作用 如果在已有的数学理论体系中发现了反例，而这个反例即不能被已有的理论所解释，有无法从已有的理论框架中排除，就形成了悖论。悖论一旦出现，就能深刻揭示出数学体系内部隐藏的矛盾，引发一系列的重大问题，从而促进数学理论的完善、更新和发展。;三、反例在教学中的应用 反例不但在数学发展史上占有重要的地位，而且在数学教学中也有着极为重要的意义。反例在否定一个命题是具有特殊的威力，在教学中能恰到好处地加以运用，可以收到事半功倍的效果。;反例在教学中的应用大致可分为下列几个方面： 1．在评判学生对提问的回答或作业时，可用举反例的方法指出其中的错误。 2．在概念教学中，对某些重要的概念有时单从正面指出定义并举例说明还不够，可用反例来加深学生对概念本质属性的理解。 3．在定理、法则学习中，初学者往往因为死记硬背或错误类比，不注意定理、法则的条件，而常常出错，???用反例可以有效地纠正这类错误。;在运用反例中也要注意它的使用范围的局限性。由于反例反驳的依据是形式逻辑中的矛盾律，因此，它的适应范围应该是遵循形式逻辑的学