Chapter+2中国科学院大学现代数字信号处理课程课件教程.pptx

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 ;2.1 引 言;1、最优滤波;x(n)=s(n)+v(n) ; 最优准则： 最大输出信噪比准则－匹配滤波器 最小均方误差准则 误差绝对值的期望值最小 误差绝对值的三次或高次幂的期望值最小;维纳滤波：20世纪30年代开始，由于二战的军事需要，为了解决火力控制系统精确跟踪问题, 维纳相继提出了平稳随机过程的最优线性滤波理论，首次将数理统计知识和线性系统理论联系起来, 形成了对随机信号作平滑, 滤波和预测的必威体育精装版估计理论。;;2.2 维纳滤波;1、 正交性原理;k=0, 1, 2, … ; 分析：上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小，则误差信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。;正交性原理的引理;2、 维纳—霍夫方程;3、FIR维纳滤波器的时域解;定义 ;写成矩阵形式， 即 ;FIR维纳滤波器的最小均方误差 ; 对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为 ; 如果滤波器的输入是白噪声，即x(n)= w(n)，w(n)是方差为; 如果x (n)的功率谱密度为z的有理分式，将x (n)的信号模型表示成下图形式。;一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器。 ;;因果IIR维纳滤波器的最佳解为 ; 因果维纳滤波器设计的一般方法： (1) 根据观测信号x(n)的功率谱得到 。 (2) 求 的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即 舍掉单位圆外的零极点，得 (3) 积分曲线取单位圆，计算Hopt(z), E［|e(n)|2］min。 ; 计算最小均方误差E［|e(n)|2］min： ;例 2.3.1 已知 ;考虑到 零极点在单位圆内，得到 ;取其因果部分;取单位圆为积分围线，上式等于单位圆内的极点 ;未经滤波器的均方误差 ; (2)、 对于非物理可实现情况有 ;令 ;维纳滤波： 维纳滤波中，根据全部过去的和当前的观察数据来估计信号的当前值； 需要已知输入信号的自相关矩阵，输入信号与期望信号的互相关矩阵； 解以系统的传递函数H(z)或单位样本响应h(n)的形式给出； 适用于平稳随机信号。;2.3 维 纳 预 测;;1、预测的可能性;2、 维纳预测的计算; 同理，要使预测误差的均方值为最小，须满足 ; 非因果维纳预测器的最佳解为 ;维纳预测的最小均方误差为 ;3、 一步线性预测的时域解;前后向预测数据之间的关系 ;（1）、前向预测;一步前向预测器结构图 ;前向预测误差的均方值为： ; 由于预测器的输出 是输入信号的线性组合，故预测误差与预测的信号值同样满足正交性原理：;将方程组写成矩阵形式 （Yule-Walker方程）; 维纳－霍夫方程;（2）、后向预测;同理，可以得到下面方程组： ; Yule-Walker方程具有以下特点： (1) 除了第一个方程外，其余都是齐次方程; (2) 与维纳-霍夫方程相比，不需要知道rxs(m)。 (3) 由方程组的p+1个方程，可以确定apk,k=1, 2, …, p和E［e2(n)］min，共计p+1个未知数。 Yule-Walker方程可以采用高效递推算法－Levinson-Dubin算法。 ; Levinson-Durbin的一般递推公式如下： ; 其中，kp称为反射系数。σ2p和σ2p-1是预测误差的均方值，因此1-k2p必须大于等于0，这样kp应要求满足下式： ;例2.4.2 已知 ; （1）、采用试验的方法确定模型阶数p。首先取p=2，各相关函数值由上式计算 ;（2）、如果取p=3，可计算出a1=-0.8, a2=a3=0, σ2ω=0.36，说明AR模型的阶数只能是一阶的。 （3）、对Sxx(z)进行分解，;卡尔曼滤波的状态方程和量测方程 卡尔曼滤波的递推算法 ;存在问题：维纳滤波适用于平稳随机信号，时域求解所需数据存储量和计算量较大。 解决方法：利用状态方程和递推方法寻找最小均方误差下状态变量 的估计值 ，即;1、卡尔曼滤波的状态方程和量测方程 假设某系统k时刻的状态变量为xk，状态方程和量测方程（也称为输出方程）表示为 ;卡尔曼滤波器的信号模型 ; 假设状态变量的增益矩阵A不随时间发生变化，wk,vk都是零均值白噪声，方差分别是Qk和Rk，并且初始状态x0与wk,vk都不相关，且噪声向量wk,vk也互不相关，即;2、 卡尔曼滤波的递推算法 基本思想： 先不考虑输入信号ωk和观测噪声vk的影响，得到状态变量和输出信号（即观测数据）的估计值 和 再用输出信号的估计误差 加权后校正状态变量的估计值 ，使状态变量估计误差 的均方值最小