Dimensional analysis：量纲分析.ppt

Dimensional analysis is a method for helping determine how the selected variables are related and for reducing significantly the amount of the experimental data that must be collected. DA provides qualitative information about the model. Unit??? mph m/s ----------v(t);量纲是物理学中的一个重要问题。它可以定性地表示出物理量与基本量之间的关系； 可以有效地应用它进行单位换算；可以用它来检查物理公式的正确与否；还可以通过它来推知某些物理规律。 ; ;量纲;定义：一组物理量，若彼此相互独立，且其它物理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合，则称这些物理量为基本物理量。;定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称为该量的量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示，因此也称为量纲积。即任一物理量Q的量纲皆可表示成;基本量 导出量;物理量的量纲;4、量纲与单位的关系;问题的解是依据适当的物理基本量的量纲齐次方程给出的。;Ex：A simple pendulum;;[g] = LT-2, [l] = L, [?] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2;; F(?1, ?2 ,?3 ) = 0与 ?(g,l,?,v,s,f) = 0 等价;四、案例－原子弹爆炸的能量估计; Taylor认为，爆炸的能量与爆炸形成的“蘑菇云”半径大小有关，他根据录影带，测出不同时刻爆炸所产生的“蘑菇云”半径见下表。 表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m);2、建立数学模型 Taylor建立计算爆炸能量的数学模型所采用的是量纲分析法。记爆炸能量为E，将“蘑菇云”半径近似看成一个球形。除时刻t和能量E外， 与“蘑菇云”半径r有关的物理量还可能有“蘑菇云” 周围的空气密度（记为 ）和大气压强P，将要寻求的关系为：; 取3个基本量纲：长度L，质量M和时间T，（2）中各个物理量的量纲分别是 ; 根据量纲分析的Bucking-ham Pi定理，由这2个基本解可以得到2个无量纲量;3、数值计算;（8）;;建模实例：空间点热源的扩散问题。;2、介质的初始温度为0。;三、模型的建立 空间任意一点的温度为u=u(r,t,e,c,k) 其中c为介质的体积比热，即单位体积的介 质温度升高一度所需热量。K为介质的热扩 散系数，即由q=-k·?u/?r确定（q是单位时 间通过单位面积的热量）。 ???Buckingham Pi定理设f(u,r,t,e,c,k)=0 [r]=l,[t]=T,[e]=L2MT-2为热量e的量纲，;[c] = [e]/{L3[u]]}= L-1.M.T-2.θ-1 [k]=L.M.T-3.θ-1;;于是，量纲矩阵为：;于是可得两个相互独立的无量纲的量：;根据隐函数存在定理可得： 。 ;另一方面，该问题也可用热传导方程求解，得：