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数学物理方法 拉普拉斯方程 常用齐次定解问题要素 常用齐次定解问题的分类 直角坐标 柱坐标 球坐标 稳定方程 演化方程 √ √ √ √ √ √ 拉普拉斯算符的形式 二维 三维 直角坐标 极（柱）坐标 球坐标 参看附录VI 数学物理中的对称性 对称性的概念 定义：对称性就是在某种变换下的不变性 分类 对称性的描述 对称性原理 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性。 对称性的应用 对称性的分类 对称性的描述 对称性名称 对称条件 对称函数 沿z轴反演对称 沿z轴平移对称 绕z轴转动对称 绕原点转动对称 对称性的应用—柱坐标输运方程 对称性 未知函数 泛定方程 无任何对称性 沿z轴平移对称 绕z轴转动对称 双重对称 球坐标下拉普拉斯方程的通解 两边同除以R(r) Y(θ,φ) 两边同乘以r2，整理变量 μ分离变量法引入的参数 (spherical harmonic function) 代入球谐函数方程 两边同除以Θ(θ)Φ(φ)，乘sin2θ后移项得： 得： 分离变量 引入的参数 Laplace方程 两次分离变量 小结 三个关联的常微分方程 偏微分转化成常微分方程的求解 1 三个常微分方程的求解（一） 对应的本 征值问题为 周期性 边界条件 由周期性边界条件得： 利用三角和 差化积公式 得： m0 此时A可任意取值，周期性边界可满足！ 由周期性边界条件得： 由周期性边界条件得： λ=0可使此两式为零， 但不满足λ0的假设 三个常微分方程的求解（二） 2 （13.2.4） 其中 为勒让德（legendre）方程． （13.2.6） 总结：球函数方程（13.2.3） 本征值 本征函数 分离变量 球函数方程 ， 实际上由下列两个本征函数之积组成，即为 m的范围扩大 球函数(spherical harmonics )的复数表达式 为了使得(13.2.8)所表示的函数系构成正交归一系， 必须添加适当常系数，于是定义 (13.2.10) 为球谐函数的本征函数（相应于本征值 ，并称它为球函数（球谐函数）表达式． 上式（13.2.10）也是复数形式的球函数．其中归一化系数 球函数的正交关系 根据 的正交性质 ,当 时， 根据 的正交性 ,当 时， 可以得到 的正交性，即当 或 时有 即 （13.2.11） Visual representations of the first few spherical harmonics. Red portions represent regions where the function is positive, and green portions represent regions where the function is negative. 3 Euler Equation: 两个特解 三个常微分方程的求解（三） 球坐标下拉普拉斯方程的通解 注意m取值范围的变化 球坐标下拉普拉斯方程通解求解总结 欧拉 方程 缔合勒让德方程，解为Plm(x) 拉普拉斯方程的非轴对称定解问题 例1 在半径为 球内（ ）求解定解问题 【解】在球坐标系下，定解问题即为 【解】 令 代入通过变量分离得到拉普拉斯方程的一系列特解 其中 都是任意常数． 通解为 再代入定解条件 利用三角函数和连带勒让德多项式的正交性和归一性， 即可算出中的待定系数 见作业13-1 拉普拉斯方程的轴对称定解问题 基本问题：电场由电势描述 电势满足泊松方程+边界条件 只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视情况不同而有不同解法 具体的工作：解泊松方程 应用 静电场的定解问题 方程 边界条件 高斯定理的普遍形式 积分形式 微分形式 自由电荷 给定边界条件 自然边界条件 衔接条件 Poisson方程 电位移矢量 介电常数 无旋场的特点 静电场问题中确定边界条件的一些基本原则 电势在两种介质的界面上连续 导体：等势体； （常数） 接地时电势C=0 电介质：利用电极化矢量描述 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向 电势在两种介质界面上的法向导数满足 导体内部电场强度为零！ 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 例如 电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的 这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布． 选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度ρ＝0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程 它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球