数值分析[研究生]第三章数值积分和数值微分二.pptVIP

第三章 数值积分与数值微分（二）;一、梯形公式的递推公式及事后估计法; 注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只增加了一个分点xk+1/2＝( xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为;;;二、龙贝格算法;改进梯形求积公式的右边实际是; 类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值Sn与S2n的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式;; 例2 用龙贝格方法计算椭圆 x2/4 + y2 ＝ l 的周长，使结果具有五位有效数字．;;三、理查森(Richardson)外推加速法;显然T1(h)与积分值 I 近似的阶为O(h4) .这样构造的 ; 可以证明，如果 f (x) 充分光滑，那么T 数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值 I ，即;; 机械求积公式 含有2n+2个待定参数xk、Ak(k＝0，1，…，n)．当 xk 为等距节点时得到的插值求积公式的代数精度至少为n次，如果适当选取 xk (k＝0，1，…，n)，有可能使求积公式具有 2n+1 次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式. 为使问题更具一般性，我们研究带权积分 ，这里r (x)为权函数，类似机械求积公式，它的求积公式为 Ak(k＝0，1，…，n)为不依赖于f (x)的求积系数，xk (k＝0，1，…，n)为求积节点，可适当选取 xk 及 Ak (k＝0，1，…，n)使求积公式(6.1)具有2n+1次代数精度．;一、高斯点; 定理5 插值型求积公式(6.1)的节点 a≤x0＜xl＜…＜xn≤b是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 与任何次数不超过n的多项式P(x)带权r (x) 正交，即;二、高斯求积公式的余项; 与积分相反，数值微分非常困难. 积分描述了一个函数的整体或宏观性质，而微分则描述一个函数在一点处的斜率，这是函数的微观性质. 因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感。而微分却很敏感. 一个函数小的变化，容易产生相邻点的斜率的大的改变. ;一、中点方法与误差分析;为要利用中点公式; 再考察舍入误差．按中点公式计算，当h很小时，因 f (a+h) 与 f (a-h)很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失(参看第 1章第4节)．因此，从舍入误差的角度来看，步长不宜太小．;二、插值型的求导公式; 如果我们限定求某个节点 xk 上的导数值，那么上面的第二项因式变为零，这时有余项公式;于是有下列求导公式：; 2．三点公式 设已给出三个节点x0，xl = x0+h，x2 = x0+2h上的函数值，做二次插值;这里撇号(’)表示对变量x求导数．上式分别取t = 0，1，2，得到三种三点公式：;公式(6.6)是我们所熟悉的中点公式．在三点公式中，它由于少用了一个函数值 f(x1) 而引人注目． 用插值多项式Pn(x)作为 f (x)的近似函数，还可以建立高阶 数值微分公式：;例4;;;三、利用数值积分求导;若对(7.6)右端积分用辛普森求积公式，则有;四、三次样条求导;五、数值微分的外推算法;(6.8)