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数学必修5_2_2第2课时等差数列的性质
第2课时 等差数列的性质;1.等差数列的定义
如果一个数列从第 项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于 常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,通常用字母 表示.
2.等差中项
如果 ,那么A叫做a与b的等差中项.
3.等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d,n∈N*.; 等差数列的常用性质;1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为( )
A.5 B.6
C.8 D.10
解析: ∵a1+a9=2a5
∴a5=5
答案: A;解析: 由题意知a4+a5=a2+a7
∴a2=15-12=3,故选A.
答案: A;3.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于________.
解析: 设cn=an+bn,则数列{cn}为等差数列.
c1=a1+b1=100,c2=a2+b2=100,
∴cn=100,∴c37=a37+b37=100.
答案: 100;4.已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a3+a9.;由题目可获取以下主要信息:
①3+7=4+6=2×5=2+8.
②a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8.
解答本题可用等差数列的性质,对于(2)也可以用等差数列的通项公式.;[解题过程] (1)因为a3+a7=a4+a6=2a5,
所以a3+a7+a4+a6+a5=5a5,
所以5a5=450,所以a5=90.
又因为a2+a8=2a5,
所以a2+a8=180.
(2)方法一:因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,其公差为d,a15为首项,则a60为其第四项,
所以a60=a15+3d,得d=4.
所以a75=a60+d?a75=24.;[题后感悟] 等差数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列,则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列;
(2)奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列;
偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列;
(3)若{kn}成等差数列,则{akn}也是等差数列.;1.已知等差数列{an}中,
(1)a2+a8+a14=1,求a3+a13;
(2)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(3)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.; (1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数;
(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.;由题目可获取以下主要信息:
①根据三个数的和为6,成等差数列,可设这三个数为a-d,a,a+d(d为公差);
②四个数成递增等差数列,且中间两数的和已知,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d).
解答本题也可以设出等差数列的首项与公差,建立基本量的方程组求解.;[规范作答] (1)方法一:设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d,2分
依题意,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,
所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,
化简得d2=16,于是d=±4,4分
故这三个数为-2,2,6或6,2,-2.6分;方法二:设首项为a,公差为d,这三个数分别为a,a+d,a+2d,2分
依题意,3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=-24,
所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,
得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12,
即d2=16,于是d=±4,4分
这三个数为-2,2,6或6,2,-2.6分;(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),8分
依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,
即a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,∴d=1或d=-1.10分
又四个数成递增等差数列,
所以d0,
∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.12分;又四个数成递增等差数列,
所以d0,所以d=2,
故所求的四个数为-2,0,2,4.12分
[题后感悟] 利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般地有如下规律:当等差数列{an}的项数n为奇数时,可设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;当项数为偶数项时,可设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,这样可减少计算量.;2.等差数列的“子
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