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材料力学[I]第五章材料力学[I]第五章材料力学[I]第五章
第五章 梁弯曲时的位移
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§5-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection),横截面对其原来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
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弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线,它可以表达为w=f(x),此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直,故横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角,从而有转角方程:
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直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关,也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁,如果它们的材料和尺寸相同,所受的外力偶之矩Me也相等,显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同,但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。
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在图示坐标系中,挠度w向下为正,向上为负;
顺时针转向的转角为正,逆时针转向的转角为负。
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§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出
在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
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在横力弯曲下,梁的横截面上除弯矩M=M(x)外,还有剪力FS=FS(x),剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍,此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计,而有
注意:对于有些l/h10的梁,例如工字形截面等直梁,如同在核电站中会遇到的那样,梁的翼缘由不锈钢制作,而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作,此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。
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从几何方面来看,平面曲线的曲率可写作
式中,等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量,而w是q = w 沿x方向的变化率,是有正负的。
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再注意到在图示坐标系中,负弯矩对应于正值w ,正弯矩对应于负值的w ,故从上列两式应有
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线,上式中的w2与1相比可略去,于是得挠曲线近似微分方程
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