格林公式与其应用[打印].pptVIP

第二节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 格林公式及其应用 第八章 （一）、区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 （二）、格林公式 定理1 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 证明(1) 同理可证 证明(2) 两式相加得 G F 证明(3) 由(2)知 L 1. 简化曲线积分 （三）、简单应用 2. 简化二重积分 （ 例3 计算 解：可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。 从　　　到 （ 解 (注意格林公式的条件) 注: 此例中所作的辅助圆l一定要是D内的圆周（即r充分小） 其中　是包围点　　　的与　同向的光滑的简单闭曲线，特别地　是以　　　为中心的圆、椭圆等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的“坏点”） 除原点外处处有 取　　　　　　　,逆时针方向，则 3. 计算平面面积 解 如果在区域G内有 二、曲线积分与路径无关的条件 1、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2.设 是单连通域 , 在 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿 中任意光滑闭曲线 ,有 (2) 对 中任一分段光滑曲线 , 曲线积分 (3) (4) 在 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 内是某一函数 的全微分, 即 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明 (1) (2) 设 为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线 则 (根据条件(1)) 证明 (2)　　　（3） 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点　　　, 与路径无关, 有函数 证明 (3) （4） 设存在函数 　 　使得 则 在D内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 证明 (4)　　　（1） 设L为D中任一分段光滑闭曲线, (如图) , 利用格林公式 , 得 所围区域为 证毕 说明: 根据定理2,若在某区域内 则 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 3)可用积分法求　　　　　　　在域D内的原函数: 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 取定点 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 例5. 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L所围 原式 圆周 区域为D , 则 例6.验证 是某个函数的全微分,并求 出这个函数. 证:设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y)，使 例7.验证 在右半平面　　　内存在原函 数 , 并求出它. 证: 令 则 由定理 2 可知存在原函数 或 例8. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 取圆弧 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 ! 内容小结 1. 格林公式 2. 等价条件 在 D 内与路径无关. 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线L有 在 D 内有 设P,Q在单连通域D内具有一阶连续偏导数, 则有 思考与练习 1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ? 提示: 2. 设 提示: 备用题 1. 设C为沿 从点 依逆时针 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 = 到点 2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到 点B(3, 4), 到原点的距离, 解: 由图知 故所求功为 锐角, 其方向垂直于OM, 且与y轴正向夹角为 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 )