武汉大学量子力学第9章.pptVIP

第九章 全同粒子系 §9.1 全同粒子波函数的 粒子交换对称性 §9.2 氦原子 §9.1 全同粒子波函数的粒子交换对称性 （1）全同粒子和全同粒子系 （2）分类： 粒子交换对称性是确定的， 与粒子的自旋有关。 Boson； Fermion 式中 以下简记为 1. Boson系 对于 s= 0，1，2，… 的粒子， 多粒子体系波函数任意两个粒子交换是对称的 2. Fermion系 对于 s =1/2，3/2，… 的粒子， 多粒子体系波函数任意两个粒子交换是反对称的 全同性原理 微观粒子运动具有波粒二象性，如果全同，则粒子在波动重叠的区域内是完全不可分辨的。 全同粒子系中任意二个粒子交换，体系状态不变 全同粒子的不可分辨性原理 §9.1-1 全同性原理和粒子交换对称性 Hamilton 算符的粒子交换不变性 即 以下简记为 有 证明: 故 引入粒子交换算符 和 设任一 满足薛定谔方程 用 作用，得 的本征值方程、本征值和本征函数 描述同一个量子态,故只差一个因子 即 本征值方程 全同粒子系任一运动状态都是 的本征态 由本征值方程 本征值 由定义 对于 两个粒子交换是(全)对称的 对于 两个粒子交换是(全)反对称的 任意全同粒子系的波函数都具有粒子交换对称性， “对称”或“反对称”。不随时间变化。 守恒量 且 是守恒量 §9.1-2 量子力学的第五条假设 一个由全同粒子组成的微观多粒子体系的任意运动状态波函数对于任意两个粒子交换而言具有对称性。玻色子系的波函数是两粒子交换全对称的，费米子系的波函数是两粒子交换全反对称的。 注意: 可以不含粒子的自旋坐标； 波函数需包含空间和自旋坐标。 “全”的含义: 同时交换 §9.1-3 独立粒子模型;全同粒子系的波函数 以多电子原子为例。设原子内有N(Z)个电子， 哈密顿算符为： 写成 其中 每个电子所受 的平均势场 单电子的哈密顿算符 的本征值方程为 可写成 其本征值谱为 ，正交归一本征函数组 若取 ， 的本征值方程为 令 得 类氢原子的本征函数 此时 相当于类氢原子 此时 在全同粒子系中，粒子间并不是没有相互作用。把其它粒子对于某一粒子的作用用一种平均势场的作用来代替，这样每个粒子好像都是在等效的势场中作与其它粒子无关的独立运动，每个粒子都有自己的本征值和本征函数(单粒子态)。 体系的本征函数为 独立粒子模型 全同粒子系的波函数 全同费米子系:本征函数是两个粒子交换全反对称 满足粒子 交换反对称 不满足反对称 由 构造 可以看出 仍然满足本征值方程 是 的具有相同本征值的本征函数 全同玻色子系：本征函数是两个粒子交换全对称 波色子可以有任意多个粒子处于同一个单粒子态 设共有N个波色子，其中有 此时，对称的波函数可由 构造为 交换只对处于不同状态的粒子进行， 满足 所以， 的具有相同本征值的归一化本征函数为 这样交换共有 §9.1-4 泡利不相容原理 多电子系 若 ,即两电子处于相同的单电子态，则 在一个多电子原子中，不可能有两个或两个以上的电子处于同一状态，即每一个单电子态只能容纳一个电子。___泡利不相容原理 可推广到费米子系 §9.1-5 二电子体系 当单电子的哈密顿算符 不含自旋时 分离变量为 所以 的四种形式为： 作线性组合，有 可以相等，也可以不相等 以上本征函数为空间坐标交换反对称而自旋坐标交换对称 自旋态矢量为对称的总自旋三重态 三式须 满足 与对称的自旋态矢量 的乘积 是反对称的空间波函数 反对称空间波函数 对称的自旋态矢量为 总自旋三重态 此为空间坐标交换对称而自旋坐标交换反对称 是对称的空间波函数 与反对称 的自旋态矢量 的乘积 对称空间波函数 有 当 总自旋单态 对于两粒子交换都是反对称的 反对称自旋态矢量 §9.2 氦原子 §9.2-1 氦原子的哈密顿量 §9.2-3 激发态 §9.2-2 氦原子的基态能级和波函数 由于H中不含自旋变量，故 空间坐标波函数满足定态薛定谔方程 §9.2-1 氦原子的哈密顿量 二电子体系 （1） 的分解 §9.2-2 氦原子的基态能级和波函数 记 其中 类氢原子 有解： 的定态能量为 零级近似波函数为 式中 (2)基态: 基态零级近似波函数 此时空间波函数是对称的,自旋态矢量反对称 基态能量零级近似 （1）激发态的波函数 考虑单激发态: §9.2-3 激发态 一个电子处于 另一个电子处于 （2）激发态能量 能量零级近似 有 度简并,二电子体系有4度交换简并, 共 简并 习题: 两个电子束缚在一维无限深势阱 中运动，忽略两个电子之间的相互作用。 求体系的基态和第一激发态的能量、波