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逻 辑 代 数 基 础 第 二 章 　　逻辑代数是数子系统逻辑设计的理论基础和重要数学工 具！ 　 1847年,英国数学家乔治·布尔(G.Boole)提出了用数学分析方法表示命题陈述的逻辑结构，并将形式逻辑归结为一种代数演，从而诞生了著名的“布尔代数”。 　　1938年，克劳德·向农(C.E.Shannon)将布尔代数应用于电话继电器的开关电路，提出了“开关代数”。 　　随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故人们更习惯于把开关代数叫 做逻辑代数。 本章知识要点： ☆　基本概念 ； ☆　基本定理和规则 ； ☆　逻辑函数的表示形式 ； ☆　逻辑函数的化简 。 逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成，记为L={K,+,·,-,0,1}。该系统应满足下列公理。 2.1 逻辑代数的基本概念 公 理 1 交 换 律 　　　对于任意逻辑变量A、B，有 　　　A + B = B + A　；　A·B = B ·A 公 理 2 结 合 律 　　　对于任意的逻辑变量A、B、C，有 　　　(A + B) + C = A + ( B + C ) 　　　( A·B )· C = A·( B· C ) 公 理 3 分 配 律 　　　对于任意的逻辑变量A、B、C，有 　　　A + ( B·C ) = (A + B)·(A + C) ； 　　　A·( B + C) = A·B + A·C 公 理 4 0─1 律 　　　对于任意逻辑变量A，有 A + 0 = A ； A · 1 = A A + 1 = 1 ； A · 0 = 0 公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以证明。 2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算 　　逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化的量，即变量。所不同的是： 　　1．任何逻辑变量的取值只有两种可能性——取值0或取值1。 　　2．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪的形式符号，无大小、正负之分。 一、变量 二、基本逻辑运算 　　描述一个数字系统，必须反映一个复杂系统中各开关元件之间的联系，这种相互联系反映到数学上就是几种运算关系。 　　逻辑代数中定义了“或”、“与” 、“非”三种基本运算。 1．“或”运算 　　如果决定某一事件是否发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。 　　例如，用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路。 电路中，开关A和B并联控制灯F。可以看出，当开关A、B中有一个闭合或者两个均闭合时，灯F即亮。因此，灯F与开关A、B之间的关系是“或”逻辑关系。可表示为 例如，下图所示电路。 　F = A + B　或者　F = A ∨ B，读作“F等于A或B”。 　 假定开关断开用0表示，开关闭合用1表示；灯灭用0表示，灯亮用1表示，则灯F与开关A、B的关系如下表所示。 即：A、B中只要有一个为1，则F为1；仅当A、B均为0时，F才为0。 “或”运算的运算法则： 0 + 0 = 0　1 + 0 = 1 0 + 1 = 1　1 + 1 = 1 实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。 2．“与” 运算 　　如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事 件才能发生，则这种因果关系称之为“与”逻辑。 　　在逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。两变量“与”运算关系可表示为 F = A·B　或者　F = A∧B 　　即：若A、B均为1，则F为1；否则，F为0。 　　例如，两个开关串联控制同一个灯。显然，仅当两个开关均闭合时，灯才能亮，否则，灯灭。 　　假定开关闭合状态用1表示，断开状态用0表示，灯亮用1 表示，灯灭用0表示，则F和A、B之间的关系 “与”运算关系。 数字系统中，实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。 “与”运算的运算法则: 　0 · 0 = 0　　1 · 0 = 0 　0 · 1 = 0　　1 · 1 = 1 　　例如，下面开关与灯并联的电路中，仅当开关断开时，灯亮；一旦开关闭合，则灯灭。令开关断开用0表示，开关闭合用1表示，灯亮用1表示，灯灭用0表示，则电路中灯F与开关A的关系即为上表所示“非”运算关系。 2.1.2 逻辑函数及逻辑函数间的相等 　　逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似，即随自变量变化的因变量。但和普通代数中函数的概念相比，逻辑函数具有如下特点： 　　1．逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和1两种可能 ； 　　2．函数和变量之间的关系是由