概率论与数理统计_概率的运算法则.pptVIP

;1. 概率的加法公式 定理1.3.1 若事件A，B互不相容，则 称为概率的加法公式 证明：（仅就古典概型证明） 设在某一条件下将试验重复进行 n次，即基本事件总数为n. 其中事件A包含的基本事件数为 m1，事件B包含的基本事件数为 m2， ;由古典概率的定义得:; ;推论1 事件A的对立事件 的概率为 ;例: 一批产品共50件，其中有5件是次品，从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率． 解法1 设A={取到的3件产品中有次品}； Ai={取到的3件产品中恰有i件次品} (i=1,2,3) 则 由定理得 ;解法2 设A={取到的3件产品中有次品}；;证明:由A ? B知A=B∪(A-B)，且B(A-B)=?,;B;对于三个随机变量，类似地有 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3)+P(A1A2A3);(1)有放回抽样：第一次取一件产品观察其是否合格后放回袋中，第二次再取一件产品. (2)不放回抽样： 第一次取一件产品后不放回袋中，第二次再取一件产品. 试由上面两种抽样方法，求： 1.取到两件合格品的概率; 2.取到两件相同质量产品的概率; 3.取到的两件产品中至少有一件合格品的概率.;解:设A={取到两件合格品},B={取到两件次品},C={取到两件相同质量的产品},D={取到的两件产品中至少有一件合格品};(2)不放回抽样: 第一次从10件产品中抽1件有10种抽取方法，第二次从9件产品中抽1件有9种抽取方法，故有10×9种可能的取法。所以样本空间的基本事件总数为n=10×9=90.;例1.3.2 袋中装有红、白、黑球各一个，每次从袋中任取一个球，记录其颜色以后再放回袋中，这样连取3次（有放回地抽取）。求3次都没有取到红球或3次都没有取到白球的概率。;2. 条件概率与事件的独立性; 而在实际问题中，除了要知道事件B发生的概率外，有时还需要知道在“事件A发生”的条件下，事件B发生的概率，这个概率称为条件概率，记为P(B|A).; 因为已知取到的是蓝色球，故此时的样本空间由11个基本事件组成，而11个蓝色球中有4个是玻璃球，所以P(B|A)=4/11. 在事件A已发生的条件下，原来的样本空间（16个基本事件）被缩小。;定义:设A,B是两个事件，且P(A)0，称 ;类似地，可定义在事件B发生的条件下事件A发生的概率为;条件概率满足概率公理化定义中的三条公理;例:将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况.设事件A={至少有一次为正面H}，事件B={两次掷出同一面}，求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率. ;例:设100件产品中有5件次品，从中任取两次，每次取一件，作不放回抽样. 设A={第一次抽到合格品}，B={第二次抽到次品}，求P(B|A).;解 依题意;例: 考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有男孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）;于是得 ;乘法公式 由条件概率的定义可得： P(AB)=P(B) P(A|B)（当P(B)≠0时) 或 P(AB)=P(A)P(B|A) （当P(A)≠0时） 此二公式称为概率的乘法公式 注：当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A)与P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。 ;乘法公式的推广 设 为任意n个事件，当 n ≥2 且 ，则有 ;例 一批产品的次品率为4％，正品中一等品率为75％，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。 解 设A＝{取到一等品}，B＝{取到次品}， ＝{取到正品} ， 则 由于 故 于是 ;例:设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2；若第一次落下未打破，第二次落下时打破的概率为7/10；若前二次落下未打破，第三次落下时打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.;;例:一个盒子中有n(n1)只晶体管，其中有一只次品，随机地取一只测试，直到找到次品为止. 求在第k(1≤k≤n)次测