概率论与数理统计第7章1.pptVIP

第七章;参数估 计问题;什么是参数估计？;参数估计的类型;§1 点估计方法;当测得样本值(x1, x2,…, xn)时,代入上述统计量，即可得到 k 个数：;点估计的常用方法; 方法;设有k个待估计的参数为;解方程组 , 得 k 个统计量：;事实上，当X为连续的，设其概率密度为f (x; ?1, ?2,…, ?k )，则有 ;例1 设总体X的概率密度为：;例2 设总体 X ~ U (a, b), a, b 未知, X1, X2,…, Xn为总体的样本,求参数 a, b 的 矩法估计量.;解得;例3 设总体 X ~ N ( ? ,? 2 ), X1, X2,…, Xn为 总体的样本, 求 ? ,? 2 的矩法估计量.;例4 设总体X服从参数为?的指数分布，即 X ~ E(?), X1, X2,…, Xn为总体的样本, 求? 的矩法估计量.;例6 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机 抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200 试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均 寿命及寿命分布的方差.;一般, 不论总体服从什么分布, 若总体期望 ? 与方差? 2 存在, 则它们的矩估计量分别为;事实上，按矩法原理，令; 极大似然估计法;设离散总体X的分布律P{ X=x; ?}的形式已知，?是待估的未知参数, ? ?Θ.又设( X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，(x1,x2,…,xn)是样本的一组观测值. 记pi(?)=P{Xi=xi; ?},i=1,2,…,n,那么这组样本观测值出现的概率为：; 定义7.1.1 设总体X为连续随机变量，其概率密度为f(x; ?)；或X为离散随机变量，其分布律为P{X=x; ?}, ? ? Θ，(x1,x2,…,xn)是来自总体X的一组样本观测值.当X为连续的，记 ;极大似然估计方法;可得未知参数的极大似然估计值;例 设总体X服从参数为p的0-1分布，求p的最大似然估计. 解:设（x1,x2,…,xn）是样本( X1,X2,…,Xn)的一组观测值.由 0-1分布的分布律： ;解得 ;例2 设总体X的概率密度为：;例 设总体 X ~ N (?,? 2), x1, x2,…, xn 是 X 的样本值, 求 ?, ? 2 的极大似然估计.; ?, ? 2 的极大似然估计量分别为;极大似然估计的不变性;如 在正态总体N (?,? 2)中, ? 2的极大似然估计值为; §2 点估计的评价标准;则称;例 设总体 X 的期望 ?与方差?2存在, X 的;证;(2);由于;都是总体参数? 的无偏估计量, 且;例 设总体X的数学期望E(X)=?, 方差 Var(X)=? 2，(X1,X2,…,Xn）（n1）是来自总体X的样本.考查 ?的以下几个点估计量得有效性;40;比;所以,;定义 设 是总体参数? ;关于相合性的两个常用结论 ;作业 P.192 2, 3，4, 5 P.197 2，3;练习;47;例6 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, X1, X2,…, Xn为总体的样本用极大似然法求 p 的估计值.;对于不同的 p , L (p)不同, 见右下图;在容许范围内选择 p ，使L(p)最大;一般, 设 X 为离散型随机变量, 其分布律为;为参数 ? 的极大似然估计值;若 X 连续, 取 f (xi,? )为Xi 的密度函数;为似然方程组;显然，;§2基于截尾样本的最大似然估计;1. 寿命分布的定义;如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.;(2) 定数截尾寿命试验;基于截尾样本的最大似然估计;为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率.;上述观察结果出现的概率近似地为 ;取似然函数为;2. 定时截尾样本的最大似然估计;得似然函数为;例;解;例3 设总体 X 的密度函数为;证 ;即;例1 设总体X服从几何分布，其分布律为： P{X=k}=(1?p)k?1 p，k=1，2，……， 其中p为未知参数，(X1, X2,…,Xn)是取自总体 X 的一个样本，求 p 的矩估计.