概率论和数理统计5.pptVIP

第五章 大数定理; 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科。 随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来。所以，要从随机现象中去寻求统计规律性，就应该对随机现象进行大量的观测。 研究随机现象的大量观测，常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，最重要的有两种：; 对随机现象进行大量重复的观测，各种结果的出现的频率具有稳定性。 ;切比雪夫不等式;证明：只对X 是连续型情况加以证明。 设X 的概率密度函数为 f(x)，则有;切比雪夫不等式用于：估计概率、 证明不等式。;切比雪夫不等式的应用 ;练一练; 几个常见的大数定律;记;设X表示在n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，即 X ~ B(n, p); 定理：伯努利大数定律 ------频率的稳定性 设X是 n 次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε，恒有; 伯努利大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率X / n与事件A发生的概率 p 有较大偏差的概率很小。即从理论上严格证明了频率具有的稳定性。;中心极限定理 Central limit theoerm; ; 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大,则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.; ; 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身，而考虑其标准化的随机变量： 的极限分布。; 定理1: 独立同分布的中心极限定理 林德伯格-列维(Lindeberg-Levy)中心极限定理;还有另一记法:;; 设随机变量X服从参数为(n, p)的二项分布(0p1),则对任意 x∈(-∞,+∞)，均有;一般地，如果随机变量 X~B(n, p) ，则有;例1：设一批产品的强度服从期望为14，方差为4的分布，每箱中装有这种产品100件。求 (1) 每箱产品的平均强度超过14.5的概率； (2) 每箱产品的平均强度超过期望14的概率。;(1) 每箱产品的平均强度超过14.5的概率；;(2) 每箱产品的平均强度超过期望14的概率;例2：某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。;于是;例2：某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。;例3：已知一本300页的书中，每页印刷错误个数服从参数为0.2的泊松分布，求这本书印刷错误总数不多于70的概率。;例4：某市保险公司开办一年人身保险业务,被保人每年需交付保费160元。若一年内发生重大人身事故，其本人或家属获赔付金2万元。己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险。求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率。;例5：设某单位设置一台电话总机,共有200个分机,设每个分机有5%的时间要使用外线通话,并且每个分机使用外线与否是相互独立的,该单位需要多少外线才能保证每个分机要使用外线时可供使用的概率达到0.9? ;练习：重复做10000次独立试验，A在每次试验中发生的概率为p，分别利用切比雪夫不等式和中心极限定理估计：用A在10000次试验中发生的频率作为概率的p的估计值时误??小于0.01的概率的近似值。;利用中心极限定理： 求区间内的概率 已知概率求 n 的值。 ;小 结