概率论和数理统计条件概率.pptVIP

第一章 随机事件和概率 §1.1 随机事件的直观意义及其运算 §1.2 概率的直观意义及其计算 §1.3 概率的公理化定义：概率空间 §1.4 条件概率 §1.5 独立事件，独立试验 §1.4 条件概率 一、条件概率的定义及性质 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝尔斯公式 引例: 确诊率问题 某病被医生诊断出的概率为0.95, 无该病误诊有该病的概率为0.002, 如果某地区患该病的比例为0.001, 现随机选该地区一人, 医生诊断患有该病, 求该人确实患有该病的概率. P(B|A)=0.32225 1/3. 定义1.4.1 条件概率 设 为一概率空间， 且 ，在 “已知事件B已经发生”的条件下, “事件A发生”条件概率 P(A|B) 定义为： P(A|B)= P(A)与P(A|B)的关系 特别地： 性质1.4.1 条件概率的性质 设 为一概率空间， 且P(B)0, 则对任意 有 P(A|B) 对应,且 P(A|B) 是 上的概率，即 P(A|B) 满足： (1) (3) 若 且 则 (2) 性质1.4.1 条件概率P(A|B)是 上的概率 （3） 证：(1) (2) 性质1.4.1 结论 概率空间 1. 2. 注：§1.3中概率的许多其他性质也都适用于 条件概率。 理解条件概率的两种不同的观点 1. 2. 二、乘法公式 证：由条件概率定义： 性质1.4.3  乘法公式推广到有穷多个事件 设 满足 则： 证： 右端= 例1.4.3 设100件产品中有5件是 不合格品,用下列两种方式抽取2件 (1) 不放回； (2) 放回， 求2件都是合格品的概率. 解： 令 A={第一次抽得的是合格品}； B={第二次抽得的是合格品}. 则所求为： (1) 不放回抽取时： 例1.4.3 设100件产品中有5件事不合格品 (2) 放回抽样： 两事件之间有某种“独立性”. 例1.4.4 配对问题 某人写了n封信，将其放入信封中,并在其中每一个信封上分别任意地写上n个收信人中的一个地址(不重复).求： (1)没有一个信封上所写的地址正确的概率 (2)恰有r个信封上所写的地址正确的概率 解：设 表示“在第i个信封上所写的地址正确” (1)所求事件为： 例1.4.4 配对问题 由于事件 是相容的，需要用性质1.3.5(多除少补原理)和性质1.4.3(乘法公式). 依题意： 有 例1.4.4 配对问题(多除少补原理) 则至少有一个信封地址正确的概率： 而其余的n-r个信封地址均不正确的概率为： 例1.4.4 配对问题 恰有r个写对 (2)在指定的r个信封上所写的地址正确这一事件的概率为： 由于r个信封有 种选法，故所求概率为： 样本空间的划分 三、全概率公式 定义1.4.2 设 为概率空间,如果 且 则称 为 的一个有穷剖分. 定理1.4.1 全概率公式 设 为概率空间， 为 的 一个有穷剖分,且 则对任 一事件 有： 称为全概率公式. 证： 说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果. 化整为零 各个击破 定理1.4.1 全概率公式 设 为概率空间， 为 的一个 可列无穷剖分,且 则对任一事 件 有全概率公式