21 二重积分.pptVIP

§2－1　二重积分 回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在[a, b]可积. 则 如图 　　其中 i[xi, xi+1], xi = xi+1  xi , 表小区间[xi, xi+1]的长, f ( i) xi表示小矩形的面积. 　　设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体. 若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积×高. 如图 一、例 1.求曲顶柱体的体积V. (i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体. 如图 z = f (x,y) z = f (x,y) Di Di (ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体　可近似看作小平顶柱体. ( i , i) Di . 小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记  i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i)  i  小曲顶柱体体积 (iii)因此, 大曲顶柱体的体积 分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得无限细, 则右端近似值会无限接近于精确值V. 也就是 (iv) 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离. 其中 ( i , i) Di ,  i = Di 的面积. 如图 (1)平面薄板的质量 M. 　　当平面薄板的质量是均匀分布时, 有, 平面薄板的质量 = 面密度×面积. 　　若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M? 2. 非均匀分布物体的质量 用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn , 　　设一平面薄板, 所占区域为D , 面密度 (x, y)  0 连续. (x, y)  D. 求该平面薄板的质量M. (i)如图 Di Di的面积记作  i . Di 　　由于(x, y)  0 连续, 从而当Di很小时, (x, y) 在Di上的变化不大, 可近似看作(x, y)在Di上是不变的. 　　从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值. (ii)即, ( i , i) Di , 以 ( i , i)作为Di 这一小　片薄板的面密度. 从而, 第 i 片薄板的质量 mi  ( i , i)  i (iii)故, 平面薄板的质量 (iv) 　　1.定义 设z=f (x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数. 　　　　　　将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1, 2, …, n), 其面积记为 i. (i, i) Di, 作积 f (i, i) i, 二、二重积分的概念与性质 若对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式 的极限存在且极限值都为I, 则称f (x,y) 在D上可积, 记为f (x,y)  R(D), 并称此极限值 I 为 f (x,y)在D上的二重积分. 记作 即 其中“ ”称为二重积分符号, D称为积分区域, f (x,y)称为被积函数, d称为面积元素, x, y称为积分变量. 和式 注1. 定积分 二重积分 区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i, 将一元函数 f (x)在数轴上点 i 处的函数值 f (i)换成二元函数 f (x, y)在平面上点(i, i)处的函数值 f (i, i). 可见, 二重积分是定积分的推广. 注2. 若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图) 则除边界上区域外, Di 的面积i = xi  yi, 故也将二重积分写成 注3. 可以证明若f (x, y)在D上连续, 则f (x, y)在D　　上可积, 　　　　若f (x, y)在D上有界, 且在D内只有有限个不连续点, 或只在有限条曲线上不连续, 则f (x, y)可积. 2. 二重积分的性质. 设D为有界闭区域, 以下涉及的积分均存在. 性质1. 性质2. 性质3. 性质4. 若在D上有f (x, y) g (x, y), 则 特别: (i) 若在D上f (x, y)0, 则 (ii) 这是因为 | f (x, y)|  f (x, y)  | f (x, y) | 积分后即得. 性质5. 若在D上 m  f (x, y)  M, 则 设 f (x, y) C(D), 则(,)D, 使得 性质6. 性质7. 3. 二重积分的几何意义设 x, y 在 D上可