(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 5-7解三角形应用举例检测试题文.doc

PAGE  PAGE 11 【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 5-7解三角形应用举例检测试题（2）文 一、选择题 1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) A．a km　　　　　　　 B.eq \r(3)a km C.eq \r(2)a km D．2a km 解析：利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq \r(3)a. 答案：B 2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　) A．2eq \r(2) km B．3eq \r(2) km C．3eq \r(3) km D．2eq \r(3) km 解析：如图，由条件知AB＝24×eq \f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知eq \f(BS,sin30°)＝eq \f(AB,sin45°)， 所以BS＝eq \f(AB,sin45°)sin30°＝3eq \r(2). 答案：B 3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是(　　) A．35海里 B．35eq \r(2)海里 C．35eq \r(3)海里 D．70海里 解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°， EF＝eq \r(CE2＋CF2－2CE·CFcos120°) ＝eq \r(502＋302－2×50×30cos120°) ＝70. 答案：D 4．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是(　　) A．20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3))) m B．20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2))) m C．20(1＋eq \r(3)) m D．30 m 解析：如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20 m，所以BM＝20 m．又在Rt△AMD中， DM＝20 m，∠ADM＝30°， ∴AM＝DMtan30°＝eq \f(20,3)eq \r(3)(m)． ∴AB＝AM＋MB＝eq \f(20,3)eq \r(3)＋20 ＝20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))(m)． 答案：A 5．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小(　　) A.eq \f(69,43) B．1 C.eq \f(70,43) D．2 解析：如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值． 由余弦定理，得 DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60° ＝(200－80t)2＋2 500t2－(200－80t)·50t ＝12 900t2－42 000t＋40 000. 当t＝eq \f(70,43)时，DE最小. 答案：C 6．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为(　　) A．1 km B．2 km C．3 km D．(eq \r(6)－1) km 解析：如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3. 设BC＝x，则由余弦定理可得 AB2＝BC2＋AC2－2B