地震学chap3.ppt

第三章 波动方程与地震波 ;3.1 波动方程;3.1.1均匀弹性杆的1维波动方程;设x处质元t时刻的位移为u(x,t)，运动速度则为; 设均匀杆的的密度为ρ，则长度为dx的小质元的运动方程为： ;式中，; 式中f可以是任意的连续函数。（3.2）形式的解称为达朗伯(D’Alembert)解，即波动方程的行波解。为了理解波动方程解 ;图3.2 介质中波传播过程描述;可见，在时刻处的扰动与时刻处的扰动是完全相等的，即扰动以速度c向正x方向传播了一段距离X，由x1传播到了x2。同样我们可以证明，波动方程的另一个一般解: ;3.1.2 三维均匀介质中的波动方程;图3.3 连续介质中立方体受力分析 ;依次类推有：;将Hooke定律代入(3.3)式，可分别得到： ;则可进一步写出（3.5）~（3.7）式的矢量形式为：;由赫姆霍茨（Helmholtz）定理：任意一个矢量场u都可以表达为一个无旋度的矢量场和一个无散度的矢量场之和。令：;两式相等，令其等于零有：;式中;由弹性理论：;图3.3 介质中P波或S波传播时质点运动示意图;图3.4 北京大学架设在青海省的流动地震台记录的一次发生 在新疆的地震（震中距1900公里） ;P波、S波是地震记录图上最为显著的二个体波震相，在地震图上P波比S波先到达，比较容易识别。P波与S波的主要差异归纳如下： 1) P波的传播速度较S波速度快，地震图上总是先记录到P波。 2) 这两种波的偏振（质点运动）方向相互正交。P波的偏振方向与波的传播方向一致；S波的偏振方向与波的传播方向垂直（图3.3）。 3) 三分向地震仪记录在通常情况下，P波的垂直分量相对较强，S波的水平分量相对 ;较强。S波的低频成份较P波丰富（图3.4）。 4) 天然地震的震源破裂通常以剪切破裂和剪切错动为主，震源向外辐射的S波的能量较P波的强。 5) P波通过时，质团无转动运动，但有体积变化，P波是一种无旋波。S波通过时，质团有转动，但无体积变化，S波是一种无散的等容波。 ;用散度算子 同时作用于波动方程（3.10）式的两边，则有：;用旋度算子 同时作用于波动方程（3.9）式的两边，则有：;3.1.3 势函数表达的波动方程;（3.10）“; 和 分别为P波和S波的势函数（Potential function） 、一样满足相同的波动方程，并以相同的波速传播，应用公式（3.12）与（3.13）是很容易由波的势函数求出相应的位移场的。;3.2 波动方程的解3.2.1不均匀弹性杆的1维波动方程的解;若 足够小，则有;（3.15）;特例1: 均匀杆，则有;需要指出的是：（3.17）式显然包含有虚数项，为简便起见，以后波动方程的解，隐含只取其实部的含义。 这种解也可用谐波形式简单表达为：;附录 地震学名词;波长与波数(wave number) 波长是一个周期内传播的长度，通常记为λ；它与波数之间有 即波长倒数的2π倍，或是在2π长度内周期性波动的数目。但要注意，三维空间的波数通常表达为一个矢量，其方向就是波传播的方向。波长λ、波数与波速、周期T、频率f间存在下列关系：;震相 在地震图上标示的震动特征不同或传播路径不同的地震波组称为震相。各震相到时、波形、振幅及质点运动方式都各有它们自己的特征。 平面波（plane wave） 在任一时刻t, 在任何垂直于波传播方向（波数矢量）的平面上，各振动量（如位移、速度、加速度、应力、应变等）相同，且同相面以速度c沿波传播方向在空间移动的波。具有上述两特征的波动方程的解必定为： ;式中 为波传播方向上的单位矢量，c为波速；矢量 称为慢度，其大小是波传播速度的倒数，其方向就是波的传播方向。;特例2: 非均匀杆，但非均匀程度不特别高 设方程（3.16）的一般解为： 将其代入（3.16）有：;若 则有;将（3.20）代回解条件方程（3.19），有： 即需要 即当地震波传播速度的空间变化量大大小于我们感兴趣的频率时，（3.21）是 满足的。换言之，不均匀一维介质中高频地震波的波动方程解可以表达为：;3.2.2 三维均匀空间中波动方程的平面波解;即有;称为P波的波数矢量，上式与1维情形的解形式是对应的。用同样的方法，我们易得到S波势函数波动方程（3.24）的解：; 称为S波波数，与P波不同的是，S波势函数是矢量函数，（3.28）式中的常量因子是常矢量B。无论是P波还是S波，其波数矢量的方向代表的是平面波的传播方向。;图3.5 平面波传播过程中的波阵面移动;如图3.5，我们考虑一组在平面内传播的平面P波，其相位函数为： 由上式，t=0时