2015-2016学年高中数学 121 解三角形的实际应用举例课时训练 新人教A版必修5.doc

PAGE  PAGE 8 课时训练3　解三角形的实际应用举例 一、测量中的距离问题 1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.5 C.10 D.10 答案:D 解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,∠ACB=60°. ∴AB=5,BC=5, 在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=15. ∴CD=BD-BC=10. 2.(2015福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60°处;行驶4 h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15°处,这时船与灯塔的距离为　　　　　km.? 答案:30 解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75°-30°=45°, 在△ABC中,根据正弦定理得,,即,∴BC=30 km, 即此时船与灯塔的距离为30 km. 3.(2015福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20°,一条笔直公路AB,其中B在A城南偏东40°,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是　　　　　千米.? 答案:24 解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20, 在△BCD中,由余弦定理得cos∠BDC==-. 设∠ADC=α,则cos α=,sin α=. 在△ACD中,由正弦定理,得AC==24. 二、测量中的高度与角度问题 4.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是β,α(αβ),则A点距离地面的高度AB等于(　　) A. B. C. D. 答案:A 解析:在△ACD中,∠DAC=β-α,DC=a,∠ADC=α,由正弦定理得AC=, ∴在Rt△ACB中,AB=ACsin β=. 5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示),则旗杆的高度为(　　) A.10 m B.30 m C.10 m D.10 m 答案:B 解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°, ∴∠EAC=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理知, ∴AC==20(m), ∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=30(m). ∴旗杆的高度为30 m. 6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10 n mile C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sin θ的值等于(　　) A. B. C. D. 答案:D 解析:根据题目条件可作图如图: 在△ABC中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠CAB=202+102-2×20×10cos 120°=700, ∴BC=10. 再由正弦定理得, ∴sin∠ACB= =. 又0°∠ACB90°, ∴cos∠ACB=, ∴sin θ=sin(30°+∠ACB) =sin 30°cos∠ACB+cos 30°sin∠ACB =. 7.某海岛周围38 n mile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30 n mile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船　　　　触礁的危险(填“有”或“无”).? 答案:无 解析:由题意在△ABC中,AB=30 n mile,∠BAC=30°, ∠ABC=135°,∴∠ACB=15°. 由正弦定理,得BC=·sin∠BAC=·sin 30°==15(). 在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)38. ∴无触礁的危险. 8.如图,在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ且与点A相距10海里的位置C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解:(1)因为AB=40,AC=10,∠BAC=θ,sin θ=,0°θ90°, 所以cos θ=. 由余弦定理得BC ==10,所以该船的行驶速度为v==15(海里/小时). (2)设直线AE与BC的延长线相交于点Q