2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 48 解三角形应用举例.docx

PAGE  PAGE - 15 - §4.8　解三角形应用举例 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 3．解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如图①，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(　√　) 　 (2)如图②，B，C，D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(αβ)，则可以求出A点距地面的高度AB.(　√　) (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　) (4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，eq \f(π,2)]．(　×　) (5)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为2cos 10°.(　√　) 1.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(　　) A．50eq \r(2) m B．50eq \r(3) m C．25eq \r(2) m D.eq \f(25\r(2),2) m 答案　A 解析　∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°， ∴∠ABC＝180°－105°－45°＝30°. 在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)， ∴AB＝eq \f(AC·sin C,sin B)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2) (m)． 2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10° 答案　B 解析　如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC， ∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A在点B的北偏西15°. 3．(2014·四川)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，eq \r(3)≈1.73) 答案　60 解析　根据已知的图形可得AB＝eq \f(46,sin 67°).在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得eq \f(AB,sin 30°)＝eq \f(BC,sin 37°)，所以BC≈2×eq \f(46,0.92)×0.60＝60(m)． 4.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m. 答案　30＋30eq \r(3) 解析　在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理得eq \f(PB,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 15°)，∴PB＝eq \f(\f(1,2)×60,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))， ∴树的高度为PB·si