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初二数学 2014寒假讲义 相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！  PAGE \* MERGEFORMAT 24 第八讲 矩形、菱形 一、【考点定位】 1、矩形、菱形的概念， 2、矩形、菱形的有关性质和判别方法； 3、熟练运用矩形、菱形的性质和判定解决计算和证明类题目； 4、了解特殊四边形之间的区别与联系，结合几何中的其他问题解答一些探索性、开放性问题，提高数学学习能力。 二、【知识点】 （一）矩形的性质和判别 1、定义：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形。 2、矩形的性质：矩形除具有一般平行四边形的性质外，它特有的性质如下： （1）四个角都是直角； （2）对角线相等； （3）（表示长和宽）； （4）既是中心对称图形，又是轴对称图形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3、矩形的判别条件： （1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 （二）菱形的性质和判别 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 2、菱形的性质：菱形除具有一般平行四边形的性质外，它特有的性质如下： （1）四条边都相等； （2）对角线互相垂直，且每一条对角线都平分一组对角； （3）（表示两条对角线长）； （4）既是中心对称图形，又是轴对称图形。 3、菱形的判别条件： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）四条边都相等的平行四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 三、【考点聚焦】 例1．(1)如图①，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BP∥OC，且BP=OC，连接CP，试说明：四边形COBP的形状并证明你的结论。 （2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？_______________. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BP∥OC，且BP=OC，连接CP，则四边形COBP的形状是（ ）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 根据矩形的性质得出OB=OC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形COBP是平行四边形，根据菱形的判定推出即可．【解析】四边形COBP的形状是菱形，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OC=OB，∵BP∥OC，BP=OC，∴四边形COBP是平行四边形，∵OC=OB，∴平行四边形COBP是菱形．故选：B． 2.（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由． （1）根据矩形的性质得出OD=OC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；（2）根据菱形的性质得出∠DOC=90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；（3）根据正方形的性质得出OD=OC，∠DOC=90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据正方形的判定推出即可；【解析】（1）四边形CODP的形状是菱形，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OC=OD，∵DP∥OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵OC=OD，∴平行四边形CODP是菱形；（2）四边形CODP的形状是矩形，理由是：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∵DP∥OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵∠DOC=90°，∴平行四边形CODP是矩形；（3）四边形CODP的形状是正方形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴∠DOC=90°，OD=OC，∵DP∥OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵∠DOC=90°，OD=OC∴平行四边形CODP是正方形． 例2.在矩形ABCD中DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F，∠BDF=15°，求∠COF的度数. F E O B A C D 解析： 解：∵DF平分∠ADC，∠BDF=15°， ∴∠ODC=45°＋15°=60°． 又∵OD=OC(矩形的对