专题复习 图形的折叠问题.doc

专题复习(五)　图形的折叠问题 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系． 类型1　三角形中的折叠问题 　　　　　　 　(2015·宜宾)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若C(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))，则该一次函数的解析式为________． 【思路点拨】　利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO，AO的长，进而得出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式． 【解答】　连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D， ∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，C(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))， ∴AO＝AC，OD＝eq \f(3,2)，DC＝eq \f(\r(3),2)，BO＝BC， 则tan∠COD＝eq \f(CD,OD)＝eq \f(\r(3),3)， 故∠COD＝30°，∠BOC＝60°， ∴△BOC是等边三角形，且∠CAD＝60°. 则sin60°＝eq \f(CD,AC)，则AC＝eq \f(DC,sin60°)＝1， 故A(1，0)， sin30°＝eq \f(CD,CO)＝eq \f(\f(\r(3),2),CO)＝eq \f(1,2). 则CO＝eq \r(3)，故BO＝eq \r(3)，B点坐标为(0，eq \r(3))， 设直线AB的解析式为y＝kx＋eq \r(3)，把A(1，0)代入解析式可得k＝－eq \r(3). ∴直线AB的解析式为y＝－eq \r(3)x＋eq \r(3). 折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解． 1．(2015·绵阳)如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF＝（ ） 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,5) C.eq \f(5,6) D.eq \f(6,7) 2．(2014·德阳)如图，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为________． 　　 3．(2014·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________． 4．(2015·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为________． 类型2　四边形及其他图形中的折叠问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2015·南充)如图，在矩形纸片ABCD中，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处． (1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由) (2)如果AM＝1，sin∠DMF＝eq \f(3,5)，求AB的长． 【思路点拨】　(1)由矩形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ＝∠AMP＝∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD； (2)设AP＝x，由折叠关系可得：BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x，AM＝1，根据△AMP∽△BPQ得：eq \f(AM,BP)＝eq \f(AP,BQ)，即BQ＝x2，根据△AMP∽△CQD得：eq \f(AP,CD)＝eq \f(AM,CQ)，即CQ＝2，从而得出AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，MD＝AD－AM＝x2＋2－1＝x2＋1，根据Rt△FDM中∠DMF的正弦值得出x的值，从而求出AB的值． 【解答】　(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°. 根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°. ∵∠APM＋∠AMP＝90°， ∴∠BPQ＝∠AM