8.3定积分的物理应用.doc

第三节 定积分的物理应用 一、变力做功 在功的问题中，恒力做功是最简单的，公式为． “以常代变”，功的微元应该通过恒力做功公式得到的． 例8．3．1 一压簧，原长1，把它每压缩1时所用的力为0.05．问在弹性范围内把它由1（如图8．3．1）压缩到60（如图8．3．2）所做的功． 图8．3．1 图8．3．2 解 令起点为原点，压缩的方向为轴的正方向 当把弹簧自原点压缩至之间的任意点处时（如图8．3．3） 图8．3．3 由胡克定律知所承受的弹簧的压力为 在此力的作用下，再继续压缩一点点，即压缩至处 由于很小，这个压缩过程可认为力不变，即恒力做功 则由恒力做功公式得功的微元 积分得 ． 例8．3．2 在原点处有一带电量为的点电荷，在它的周围形成了一个电场．现在处有一单位正电荷沿轴正方向移至处，求电场力所做的功．又问若把该电荷继续移动，移动至无穷远处，电场力要做多少功． 解 点电荷在任意点处时所受的电场力为（为常数） 电场力做功的微元为点电荷由任意点处移动至处时电场力所做的功 即 则移至处电场力做的功 ； 移至无穷远处电场力做的功 （物理学中称此值为电场在处的电位）． 例8．3．3 一圆台形水池，深15，上下口半径分别为20和10，如果把其中盛满的水全部抽干，需要做多少功? 解 水是被“一层层”地抽出去的，在这个过程中，不但每层水的重力在变，提升的高度也在连续地变化 图8．3．4 其中抽出任意一层水（处厚为的扁圆柱体，如图8．3．4阴影部分）所做的功为抽水做功的微元 即 则 ． 二、物体质量 对于密度均匀的物体的质量或、，这时密度是常量；但对于密度不均匀（密度是变量）的物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用微元法． 例8．3．4 一半圆形金属丝，其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比，求金属丝的质量． 解 建立如图8．3．5坐标系 图8．3．5 则 ． 例8．3．5 设有一心脏线形的物质薄片，其面密度，试求此物质薄片的质量． 解 （参照例8．1．10 ） ． 例8．3．6 设一立体为曲线关于轴的旋转体，其上任一点的体密度等于其横坐标的绝对值即，试求该立体的质量． 解 图8．3．6 （图8．3．6中小圆柱体体积） ． 三、液体压力 液面下深处水平放置的面积为的薄板承受的液体压力可以由压强乘以面积得到，即，其中为液体密度，压强是个常量（匀压强）． 现在如若把薄板垂直放置呢？薄板上的压强还是常量吗？还能用上边那个简单的公式吗？ 例8．3．7 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门，闸门垂直放置且上边与水面齐（如图8．3．4），试计算闸门一侧所承受的水压力． 解 回顾例8．3．3，我们知道抽水做功微元为把处一层水抽出所做的功；类似地，侧压力微元为处一层水对应的闸门的一个小窄条（如图阴影部分）所承受的水压力，即 则 ． 思考题8.3 1．观察图8．3．4中的阴影部分，思考它在以下问题中的不同含义： （1）梯形面积； （2）梯形闸门侧压力； （3）圆台体积； （4）圆台形水池的抽水做功． 2．试用一句话论述微元法的精髓． （用简单方法（公式）得到微元，通过对微元积分解决复杂问题） 练习题8.3 1．在轴上作直线运动的质点，在任意点处所受的力为，试求质点从运动到处所做的功． 2．一半径为1的水井，深10，水面距地面4．如果把水全部抽干（??考虑渗漏因素），要做多少功？ 3．物质曲线上任意点处的线密度，求一段物质曲线的质量． 4．一底为8高为12的矩形薄片垂直沉没于水中，上底在水深5处并与水面平行，求薄片一侧所受的侧压力． 练习题8.3答案 1．在轴上作直线运动的质点，在任意点处所受的力为，试求质点从运动到处所做的功． 解 ． 2．一半径为1的水井，深10，水面距地面4．如果把水全部抽干（不考虑渗漏因素），要做多少功？ 解 则 ． 3．物质曲线上任意点处的线密度，求一段物质曲线的质量． 解 ． 4．一底为8高为12的矩形薄片垂直沉没于水中，上底在水深5处并与水面平行，求薄片一侧所受的侧压力． 解 则 ．