函数的基本质小结.ppt

函数的基本性质;1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时， ①若 ，则f(x)在区间D上是增函数． ②若 ，则f(x)在区间D上是减函数．; (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 或 ，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间．;基础知识梳理;2．函数的最值 (1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有 . ②存在x0∈I，使得 . 则称M是f(x)的最大值．;(2)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有 . ②存在x0∈I，使得 . 则称M是f(x)的最小值．;基础知识梳理;3．函数的奇偶性;基础知识梳理;4．奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”)．; (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是 ； ②两个偶函数的和、积是 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 ．;1．在(－∞，0)上是减函数的是(　　) 答案：D;2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　);3．(教材习题改编)函数f(x)＝x2－2x，x∈[a2＋1,4]的最大值为________． 答案：8;函数的单调性用以揭示随着自变量的增大，函数值的增大与减小的规律．在定义区间上任取x1、x2，且x1x2的条件下，判断或证明f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)，这一过程就是实施不等式的变换过程．;课堂互动讲练;　　证明：任取x1＜x2＜0，则 　　f(x2)－f(x1)＝(－　 －1)－(－　 －1) 　　＝　 － 　＝　　 ． 　　因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所 以　　 ＞0，即f(x2)－f(x1)＞0， 所以f(x2)＞f(x1)． 　　故f(x)在(－∞，0)上是单调增函数．;【规律小结】　用定义证明函数单调性的一般步骤： (1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2. (2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．;(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论． (4)判断：根据定义得出结论．;课堂互动讲练;判断函数的奇偶性，应该首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数．;课堂互动讲练;【思路点拨】　可从定义域入手，在定义域关于原点对称情况下，考查f(－x)与f(x)的关系．;故f(x)为非奇非偶函数． (3)当x0时，－x0，则 f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当x0时，－x0，则 f(－x)＝(－x)2－x ＝x2－x＝－f(x)．;综上，对x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． (4)易知f(x)的定义域是(－1,0)∪(0,1)， ∴f(x)是奇函数． ;【说明】　对于(1)的结论不能只说奇函数或偶函数．;规律方法总结;2．理解函数的奇偶性应注意的问题 (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．;规律方法总结;(3)①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之亦真． ②若f(x)为奇函数，且0在定义域内，则f(0)＝0. ③若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数．