带有二元连接函数的半参数模型.pdf

数 学 年 刊 2015，36A(2)：191—208 DOh10．16205／j．cnki．cama．2015．0019 带 有二元 连接 函数 的半参 数模型冰 司世景 李二倩 田茂再z 提要 提出了一种新的带有二元连接函数的广义半参数模型，即二元连接模型 (简称为 BLM)．使用 轮廓似然方法估计模型的参数和非参数部分，并给出了计算算法．证明了所得的未知参数的估计量为 ~／相合，渐近正态且具有渐近最小方差，给出了实际数据分析和模拟研究，最终采用局部功效方法 来检验非参数部分的线性性． 关键词 二元连接函数，轮廓似然，半参数模型，局部功效检验，指数型分布族 MR (2ooo)主题分类 62F，62G 中图法分类 O212．1 文献标志码 A 文章编号 1000—8314(2015)02—0191—18 1 引 言 近几十年来，半参数模型被广泛应用于 自然科学和社会科学中．例如，在生存分析 中，众所周知的Cox比例风险模型就是一种半参数模型，由非参数的基准风险函数和参数 部分构成．更多的例子，如单指标模型 (简记为SIM)，广义部分线性模型 (简记为GPLM) 和广义可加模型 (简记为 GAM)也是得到充分研究的半参数模型． 半参数模型的广泛应用主要是由于它有两个明显的好处：一个是很大的灵活性，另 一 个是精炼的解释性．在本文中，我们提出了一种更加一般的半参数模型： E(Y U『，T)=c(uT ，m())， 其中 =(l，… ， )T为在孵c 中取值的参数向量，m()·是从 到 的未知光滑 函数，响应变量 y的分布来 自于指数型分布族 (简记为EDF)[，G(．，．)为已知的二元连 接函数．这里，我们假设解释变量分解成两部分，即 【，和 T，这一分解主要基于先验信 息．向量 和 分别为与响应变量 y相关的P一维和一维协变量． 和 m()·未知，是 需要估计的． 明显地，BLM 比GPLM更加灵活和一般化．事实上，如果设定C(x，Y)=F(x+ )， 其中F()·为已知函数，那么BLM退化为 GPLM．特别地，如果 C(x，Y)= +Y，模型变 为 E(Ylu，T)=Ur +m(T)，也即部分线性模型 (简记为PLM)．所以可以得到结论， GPLM 只是新提出的模型的一个特例． 因为响应变量y的分布来 自于 EDF，它的概率密度函数 (如果 y连续)或者概率质 量函数 (如果 y离散)具有下面的结构： ，口，』9一 ^r丹、 、 ／(y，，)：exp{兰 +c(，)}， 本文 2013年 5月 13 日收到， 2015年 1月 4日收到修改稿． 1中国人民大学统计应用统计科学研究中心，统计学院，北京 100872． E—mail：sisingjing2006~163．com；li2qian~ruc．edu．ca 0通讯作者．兰州商学院统计学院，兰州730101；中国人民大学统计应用统计科学研究中心，统计学院，北京 100872．E．mail：mztian@ruc．edu．an 本文受到国家自然科学基金 (No，国家社会科学基金重点项目(No．13AZD064)，教育部高等学 校博士学科点专项科研基金 (No．20130004110007)，北京市社会科学基金重大项目(No．15ZDA17)和兰州 商学院 飞“天学者特聘计划”的资助． 数 学 年 刊 36卷A辑 其中n(．)，6(．)，c(．，．)为具体函数．通常，我们对参数 感兴趣，而称额外的参数 为冗 余参数．可以证明，EY= =6()以及Var(Y)=n() ()=0()6()． 在近几十年中，半参数模型的估计已经被相当多的作者研究过 [2-a】．为了得到半参 数模型中参数分量的估计量的渐近方差的一个下界， Stein[]刻画了一种重要的方法， 通过为非参数部分选择一条最不利的曲线，我们可以达到这个下界．这一想法已经由其 他文章进一步发展，如文 f6-81等．Bickel等人 [9】讨论了在半参数模型中估计的一般方 法．