6数学的转折点解析几何学的产生.doc

第六章 数学的转折点——解析几何学的产生 数学中的转折点是笛卡尔的变数；有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。 ——恩格斯 6.1解析几何学产生的背景 6.1.1 数学本身的发展具备了三个条件 初等数学日臻成熟 欧几里德的《几何原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线》、穆勒的《三角全书》 阿拉伯人的代数学的思想方法得到了发展 印度——阿拉伯数码的采用，记数和算术运算得以简化 阿拉伯人的代数学的思想方法得到了发展 印度——阿拉伯数码的采用，记数和算术运算得以简化 数学观和数学方法论的重大变化 6.1.2 数学发展的外部条件 17世纪欧洲资本主义幼芽茁壮成长，航海、天文、力学、军事等科学技术，给数学提出了一系列问题：确定地球的经纬度；准确计算炮弹运动轨迹以及研究机械运动特性等，这些问题都难以在常量数学的范围内获得解决，于是促使人们寻求解决变量问题的新的数学方法。 在数学史上，17世纪是一个开创性的世纪，这个世纪中发生了对于数学具有重大意义的三件事： 首先是意大利的伽利略于1638年提出了实验数学方法，其特点是在所研究的现象中，找出一些可以度量的因素，并把数学方法应用到这些量的变化规律中去。 第二件是笛卡尔的重要著作《方法论》及其附录于1637年发表。由此产生了一门用代数方法研究几何学的新科学——解析几何学。 第三件是微积分的建立。 在16世纪之前人们用一种静态的观点来研究图形的性质，即把它们看作是用平面从不同角度截锥体而得到的曲线 文艺复兴以来日益受到人们关注的行星绕日运动和抛体运动，要求人们用运动和变化的观点研究圆锥曲线，即把曲线看成是物体经运动而生成且随时间的变化而变化着的轨迹 用代数方法研究几何问题，产生了一门崭新的数学分支——解析几何 把变量引入了数学，从此数学发生了质的变化——由研究常量的初等数学，进入了研究变量的高等数学 6.2笛卡尔与他的《几何学》 1、 笛卡尔于1637年发表著作《更好地指导推理和寻求科学??理的方法论》（简称《方法论》），在其著作的附录之一《几何学》中，笛卡尔首次明确地提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。 2、《几何学》的问世是解析几何学产生的重要标志 3、 古代的几何过于抽象，过多地依赖于图形；代数过于受法则和公式的约束，成为一种阻碍思想的技艺。 4、同时，几何学提供了有关真实世界的知识和真理；代数学能用来对抽象的未知量进行推理，是一门潜在的方法科学。 5、在一条给定的直线上标出x，在与该轴成固定角的线上标出y，并且做出其x的值和y的值满足给定关系的点。实际上，他建立的是一个斜坐标系。 7、 笛卡尔把几何曲线变成代数方程，然后通过研究代数方程来揭示曲线的性质。 将两个不同的曲线放在同一坐标系中，并且通过联立这两个方程来求出这两条曲线交点的坐标。 指出给定任何一个含x和y的代数方程，都可以求出它的曲线。 6.3费马与他的解析几何 费马在认识到阿波罗尼斯所用几何方法的困难之后，萌生了用代数来研究曲线性质的想法。 费马在认识到阿波罗尼斯所用几何方法的困难之后，萌生了用代数来研究曲线性质的想法。 在他《平面和立体轨迹引论》这部关于解析几何的最早著作中，已经有了解析几何的两个基本概念：坐标概念以及通过坐标把代数方程同曲线相联系的概念 费马考虑任意曲线和它上面的一般点I，I的位置用A、E两个字母定出：A是从原点O沿底线到点J的距离，E是从J到I的距离，它所用的坐标，就是我们现在用的斜坐标，它的A,E就是我们现在的x，y。但是y轴没有明确出现，而且不用负数。 费马把他的一般原理叙述为：“只要在最后的方程里出现两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端描绘出一条直线或曲线。” 费马的著作直到1679年才正式出版，但他确实在1629年已经发现了解析几何的基本原理。 费马与笛卡尔分别用不同的方法，各自独立的、差不多同时创立了解析几何 费马主要着眼于继承希腊人的思想，他认为自己只是重新表达了阿波罗尼斯的工作；笛卡尔则从批判希腊的传统出发，认为自己是在改变古代的方法。 解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”，使得平面上的点与实数对（x,y）之间建立一一对应，于是几何问题就可以用代数形式来表达，而几何问题的求解就转化为代数问题的求解。笛卡尔甚至还提出过一个大胆的计划：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。 6.4解析几何的进一步完善发展 约翰*瓦里士引进