三角函数图像及性质教师版.doc

PAGE 16 page  PAGE 16 of  NUMPAGES 16 三角函数 一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系 板块一：任意角的概念与弧度制 (一)知识内容 角的概念的推广 ⑴角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，终边称为角的三要素.角可以是任意大小的. ⑵角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角. ①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角； ③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角： ①角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. ②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角. 2.终边相同的角的集合：设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为.集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为. 3.弧度制和弧度制与角度制的换算 ⑴角度制：把圆周等分，其中1份所对的圆心角是度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制. 教师备案一些特殊角的度数与弧度数的对应表： 度数15°75°弧度度数210°225°240°300°315°330°弧度 ⑵1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角. 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知角的弧度数的绝对值，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制. （3）弧长公式：；扇形面积公式：。 （4）弧度与角度的换算：， 板块二：任意角的三角函数 (一）知识内容 1.三角函数定义 在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么 ⑴比值叫做的正弦，记作，即； ⑵比值叫做的余弦，记作，即； ⑶比值叫做的正切，记作，即； ⑷比值叫做的余切，记作，即； ⑷比值叫做的正割，记作，即； ⑸比值叫做的余割，记作，即. 2.三角函数的定义域、值域 函数定义域值域3.三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ⑴正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）； ⑵余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）； ⑶正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）. 可以用下图表示： 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值. 4.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：，， 商数关系：， 倒数关系： 6.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）： sin()＝sinα，cos()＝－cosα，tan()＝－tanα； sin()＝－sinα，cos()＝－cosα，tan()＝tanα； sin()＝－sinα，cos()＝cosα，tan()＝－tanα； sin()＝－sinα，cos()＝cosα，tan()＝－tanα； sin()＝sinα，cos()＝cosα，tan()＝tanα ； sin()＝cosα，cos()＝sinα； sin()＝cosα,cos()＝-sinα。 4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识，一般情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角函数的种数，适当配凑和拆分，统一切割化弦等等. 二、三角函数的图象与性质 板块一：任意角的概念与弧度制 （一）知识内容 ⑴单位圆： 半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与轴交点分别为，，而与轴的交点分别为，.由三角函数的定义可知，点的坐标为，即.其中，. 这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点（或），则(或). ⑵有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段. 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负. ⑶三角函数线的定义： 设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.我们就分别称有向线段，，为正弦线、余弦线、正切线. 板块一：三角函数的图象