弹力学平面应力平面应变问题.ppt

第二章 平面问题的基本理论;因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有： 位移（u）、应变（ε）、应力（σ）;dy;弹性体的基本假设;a’;由力平衡条件;平衡微分方程的矩阵形式为 ;二维问题：平衡微分方程;2.几何方程：位移-应变的关系;;几何方程式的矩阵形式为 ;由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。;工程上，一般将应变与应力间的关系表示为;;其中;;5. 位移边界条件;弹性力学基本方程的一般形式为 ;任何构件都占有三维空间，在载荷或温度变化等的作用下，物体内产生的应力、应变和位移必然是三向的。一般说来，它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样的问题称为弹性力学空间问题。;当构件形状有某些特点，并且受到特殊的分布外力作用或温度变化影响，某些空间问题可以简化为弹性力学的平面问题。这些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐标（如x、y）的函数。平面问题可以进而分为平面应变问题和平面应力问题两大类。;平面应变问题;这时，可以把构件在纵向作为无限长看待。因此，任一横截面都可以视为对称面，其上各点就不会产生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也与坐标z无关。则有;对于具有以下特征的构件，可作为平面应变问题看待： 构件纵向(如z轴方向)的尺寸远大于横向(x，y轴方向)尺寸； 与纵向(z轴)垂直的各横截面的尺寸和形状均相同； 所有外力均与纵轴(z轴)垂直，并且沿纵轴(z轴)没有变化； (4) 物体的约束(支承)条件不随z轴变化。;在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水（油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。; 还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平面应变问题。 通常，只要是长的等直柱体或板，受到垂直于其纵轴而且沿长度方向无变化的载荷作用时，都可以简化为平面应变问题。下面是这种情况下的应力、应变以及弹性力学的基???方程式。 ;位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是 ;;将 ;应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有;对于具有如下特征的构件，可作为平面应力问题处理。 (1)物体沿一个坐标方向的尺寸(如沿z轴方向)远小于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板； (2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面没有外力，体积力垂直于z轴； (3)由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。 ;体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板的前后表面上没有外力作用。即;在平面应力问题中，认为 等于零，但沿z轴的应变不等于零。这与平面应变的情况刚好相反。 将 代入物理方程， 有 ;于是，物理方程的另外三式成为;平面应变和平面应力问题物理方程比较：;这里，;对于平面应力问题，弹性矩阵为;小 结;小 结;平面问题的解法?