双曲线性质总结及经典例题.doc

双曲线 知识点总结 1. 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：. ⑵①i. 焦点在x轴上：?? 顶点：? 焦点：?? 准线方程?渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上：顶点：.? 焦点：. 准线方程：.? 渐近线方程：或 ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.? ③离心率.?? ④准线距（两准线的距离）.? ⑤参数关系.? ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） ? 例题分析 定义类 1，已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支 ，的轨迹是双曲线的右支.其方程为 2双曲线的渐近线为，则离心率为 点拨：当焦点在x轴上时，，；当焦点在y轴上时，， 4 设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ） A． B．12 C． D．24 解析： ① 又② 由①、②解得 直角三角形， 故选B。 1已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程． 【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2. 又双曲线过点（3，2），∴－=1. 又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8. 故所求双曲线的方程为－=1. 解法二：设双曲线方程为－＝1， 将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1. 2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为， 当时，化为，， 当时，化为，， 综上，双曲线方程为或 3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________. [解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为 【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ） A. B. C. D. 【解析】椭圆的长半轴为 双曲线的实半轴为 ，故选A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为 【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率 右准线为.作于N，交双曲线右支于P， 连FP，则.此时 为最小. 在中，令，得取.所求P点的坐标为. 【例3】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为 点（1，3）代入：.代入（1）： 即为所求. 【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置. 【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ） A.e B.1e C.1e D.e 【解析】如图设直线的倾斜角为α，双曲线渐近线 的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线与双曲线的两 个交点分别在左右两支上.由 . ∵双曲线中，故取e.选D. 【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ） A． B． C. D． 【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设； 于是， 故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°. ∴.选B. 【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A. B. C. D. 【解析】设弦的两端分别为.则有： . ∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率. 则所求直线方程为：，故选C. 【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由. 如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法： 【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么： . ∵M（1，1）为弦AB的中点， ∴ 故存在符合条件的直线AB，其方程为：. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了： 其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而