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怎样建立操纵system数学模型
引言
时域模型
频域模型
信号流图
第二章 控制系统的数学模型
梅逊公式
三、数学模型的建立方法
一、数学模型的定义
二、数学模型的几种表示方式
§ 2.1 引言
一、数学模型的定义
数学模型:系统的物理量或变量之间的数学表达式。
静态条件下系统变量间的代数方程。
系统变量各阶导数间的微分方程。
深入了解元件及系统的静态和动态特性,准确建立它们的数学模型。
静态数学模型:
动态数学模型:
建模:
为什么要建立数学模型:我们需要了解系统的具体的性能指标,只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的,希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点,首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。
另一个原因:许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统,其运动规律可能完全一样,可以用一个运动方程来表示,我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式,即可知其变量间的关系,这种关系可代表数学表达式相同的任何系统,因此需建立控制系统的数学模型。
比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析,具有相同的数学模型。
当然,对于同一个系统来说,可以选用不同的数学模型,研究时域响应时可以用传递函数,研究频域响应时则要用频率特性。
二、数学模型的几种表示方式
时(间)域模型:
频域模型:
微分方程
差分方程
状态空间表达式
频率特性
传递函数、结构图
复数域模型:
三、建立控制系统数学模型的方法
分析法:
实验法:
对系统各部分的运动机理进行分析,根据它们所依据的物理规律、化学规律分别列写运动方程。
KCL、 KVL 、牛顿定律、 热力学定律
人为施加某种测试信号,记录输入输出数据,并用适当的数学模型去逼近—系统辩识。
但实际上有的系统还是了解一部分的,这时称为灰箱,可以分析计算法与工程实验法一起用,较准确而方便地建立系统的数学模型。
实际控制系统的数学模型往往是很复杂的,在一般情况下,常常可以忽略一些影响较小的因素来简化,
但这就出现了一对矛盾,简化与准确性。不能过于简化,而使数学模型变的不准确,也不能过分追求准确性,使系统的数学模型过于复杂。
§ 2.2 控制系统的时域数学模型
2.2.1 线性元件的微分方程
2.2.2 控制系统微分方程的建立
2.2.3 线性微分方程的求解
2.2.4 非线性元件微分方程的线性化
2.2.5 线性系统的特性及运动模态
例2-1
图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量,U2(t)为输出量的网络微分方程。
2.2.1 线性元件的微分方程
解:设回路电流i1、i2,根据克希霍夫定律,列写
方程如下:
①
②
③
④
⑤
由④、⑤得
由②导出
将i1、i2代入①、③,则得
这就是RC组成的四端网络的数学模型,是一个二阶线性微分方程。
例2-2
列写图2-2 中电枢电压Ua(t)(v)与电机转速ωm(t)(rad/s)之间的微分方程。
电枢回路电压平衡方程
电磁转矩方程
电机轴上的转矩平衡方程
解:电枢回路电压平衡方程
电枢反电势
Ea=Ceωm(t) ②
电磁转矩方程
电动机轴上的转矩平衡方程:
电动机机电时间常数(s)
⑤
⑥
忽略电枢电路电感La不计,因而⑤可简化为
③、④求出ia(t),代入①同时②亦代入①得:
若电枢电阻Ra和转动惯量Jm都忽略不计,则 ⑥可简化为
⑦
建立微分方程的步骤如下:
①根据元件工作原理及其在控制系统中的作用,确定系统的输入量和输出量。
②将系统划分为若干环节,从输入端开始,按信号传 递的顺序,依据各变量所遵循的物理学定律,列出各环节的线性化微分方程。
注意:信号传送的单向性,即前一个元件的输出是后一个元件的输入,一级一级地单向传送。前后两个元件中,后级对前级的负载效应。
③消去中间变量,写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。
2.2.2 控制系统微分方程的建立
4将所得微分方程标准化:
n-微分方程的阶次。将与输入量有关的项写在方程的右端,与输出量有关的项写在方程左端,方程两端变量的导数项均按降幂排列。
单变量线性定常系统能用定常系数的线性微分方程来描述;
微分方程所描述的是系统的输入与输出之间的关系,是系统的输入输出特性。
例2-3:试证明图2-3(a)、(b)所示的机、电系统是相似系 统(即两系统具有相同的数学模型)。
对电气网络
解: 对机械网络:
③
②
④
2
利用②、③、④求出
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