2013高一级数学竞赛试题.docVIP

PAGE  PAGE 7 三水中学2012—2013学年度高一级数学竞赛（决赛）试题 选择题 （本大题共6题，每小题5分，共30分，符合条件的选项有且只有一个） y x O 1.如图中，给出的函数y=x2+ax+a的图像与x轴只有一个公共点，则a为( ) （A）0． （B）1． （C）2． （D）4． 2.下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递增的函数是（ ） A B C D 3.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A B C D 4.在中，，若为锐角，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 5.函数的图象是（　　） 6.已知函数满足，，则 的值为 ( ) A．3 B．2 C．1 D． 填空题（本大题共6题，每小题8分，共48分） 7.已知，则 8. 已知点,点为抛物线的顶点，点为抛物线上任意一???，则的最小值为 9.若任意的，则，就称是“和谐”集合，则在集合的所有非空子集中，“和谐”集合的个数是_________个 10.已知的三边长分别为3、4、5.则这个三角形内切圆的面积为 11.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，且最大值是2，则的解析式是 12.已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是 三、解答题（本大题共6题，共72分） 13.（本题满分10分）已知函数，． （1）求函数在内的单调递减区间； （2）若函数在处取到最大值，求的值． 14.（本题满分10分）如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、，设，，其中，．求表达式的值. 15.（本题满分13分）已知函数． （1）求的最小正周期和的值域； （2）若为的一个零点，求的值． 16.（本题满分13分）已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数. （1）求的解析式； （2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由. 17.（本题满分13分）已知定义域为的函数同时满足以下三个条件： [1] 对任意的，总有； [2] ； [3] 当，，且时，有成立， 就称为“友谊函数”，请解答下列各题： (1)若为“友谊函数”，求的值； (2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由. (3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且， 求证：. 18.（本题满分13分） 已知正实数满足，且，求的最小值． 三水中学2012—2013学年度高一级数学竞赛（决赛）试题答案 一、(每题5分，共30分) DCB DAC 二、填空题（本大题共6题，每小题8分，共48分） 7. 4/5， 8. 7/4 ， 9. 7个 10. 11. 12. 三、解答题 13. 解：（1）函数在内的单调递减区间为：[]；……5分 （注：开区间也给分） （2）由已知得：当时，函数取到最大值2； 此时有，解得；……………6分 故，……………………………………………..7分 ……….8分 ………………………9分 故有=……………..10分 14. 解：如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心 F为BC的中点，则有 HYPERLINK  ……..2分 ，， …………………………………..4分 　即………………….6分 D、G、E三点共线 　　 故 ＝3 ……………………………….10分 15.解：⑴ ……..4分 ．…………………5分 所以的最小正周期……………..6分 由，得的值域为．…………...7分 ⑵，由题设知， 由， 结合知，…………………….8分 可得．……………………….9分 ， …….12分 …………13分 （注:有其他解法只要运算正确也给分） 16. 解 （1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故. ……………..2分 又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故………………………………4分 因此，的解析式为. ………………5分 （2）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，………………7分 从而，即……….