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数学史-数学思想
数学史与数学思想;从孙子算经谈起
贾宪三角形的应用
鸡兔同笼问题
纵横图趣谈
东家流水入西邻
趣谈图形的拼补
数学名家的思想;从孙子算经谈起;下面我们再来看一道稍微麻烦一点的问题,它出自于黄宗宪的“求一术通解”:求一数,五除余零,七百十五除余十,二百四十七除余一百四十,三百九十一除余二百四十五,一百八十七除余一百零九。仔细读题后发现:5除余0是废话,247除余140,余数是5的倍数,原数是5的倍数,因此这句话可变为247×5=1235除余140,同样第四句话可变为391×5=1955除余245。现在从1955除余245,1235除余140出发:
245,245+1955=2200,4155,6110,8065,10020
245, 965, 450,1170, 655, 140,第二行是第一行除以1235的余数。依次试除,发现10020即为所求之数。
问题(杨辉《续古摘奇算法》):二除余一,五除余二,七除余三,九除余四,问本数。
;??宪三角形的应用;贾宪三角形的有趣性质:我们从贾宪三角形中可以看出 :(1)的展开式共有n+1项;(2)在的展开式中,与首末两端等远的项的系数相等;(3)如果的幂指数n是偶数,展开式中间一项最大,n是奇数时,中间两项相同且最大;(4)贾宪三角形第三条斜线1,3,6,10…即三角形数中任意相邻二数之和为平方数;(5)斜数第三列诸数的平方也恰好是;(6)斜数第四条斜线上诸数1,4,10,20,35,…即四面体数中相邻两数之和1+4,4+10,10+20,…恰好为;(7)如果p为质数,则第p行的数可以被p整除(两端的1除外);(8)把虚线上的数相加可以得到Fibonacci数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…;(9)第行的所有数字都是奇数。 ;贾宪三角形的几何特性:隐藏在贾宪三角形中的几何性质更是令人拍案叫绝,这是波兰数学家Waclaw Sierpinski(1882-1969)三角形带给我们的享受,这是最有意义的分形图之一。画一个三角形,把它的三条边的中点相连,得到一个与原三角形相似的三角形,把这个三角形移走,留下3个小三角形,其边长是原三角形的一半,从这三个三角形中再移走三个更小的三角形,这样就得到了9个边长为原三角形的四分之一的小三角形。从理论上讲,这一过程可以无限进行下去,产生了一个越来越空的和自相似的图形,它不是直线即它不是一维的,也没有面积即它不是二维的,介于一维到二维之间。
现在我们建立一个由多行组成的贾宪三角形,偶数用黑体表示,如果把奇数去掉就出现三角形形状的洞,这样贾宪三角形就变成了Waclaw Sierpinsk三角形,行数越多就越接近。如果把被3整除的数用同一种颜色表示,就会得到一个新的完全由数字构成的三角形。
?;鸡兔同笼问题;今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?答:鸡二十三,兔一十二。术曰:上置三十五头,下置九十四足,半其足得四十七,以少减多,再命之。上三除下四,上五除下七,下有一除上三,下有二除上五,即得。又术曰:上置头,下置足,以头除足,以足除头,即得。若从现在的观点看,孙子在解决这个问题时,很可能利用了方程。设鸡兔数分别为x,y,则
“上置头” x+y=A x+y=A
“下置足” 2x+4y=B 半其足 x+2y=B/2
“以头除足”y=B/2-A(兔), “以足除头”x=A-y(鸡)
结合我国古算题多用筹算的特点:
头 35 35 35 23 鸡
足 94 半其足 47 以头除足 12 以足除头 12 兔;代数解法:设想问题已解,未知存在且已求出,因此可用字母表示,并与已知同等看待,一起塞入方程之中!设鸡、兔分别有x,y只,头数、脚数分别为a,b。接着搞翻译:“有头a”译为x+y=a,”有脚b”译为2x+4y=b,于是得到x=(4a-b)÷2,y=(b-2a) ÷2。由此可见代数法解应用题有代数设想、代数翻译和解代数方程等步骤:代数设想的主要内容是?设想问题已解,未知存在,用字母表示。 ?尽量用字母表示已知?平等看待已知和未知量,允许施行代数运算。其目的为翻译打基础。代数翻译是将题目的条件用数学的关系表示出来,找出未知与已知间的联系,常常表现为从不同的角度看待同一个量。接下来的代数解法是不太难的了。
目前有两个极端:其一是在小学高年级大搞应用战术,这样回养成学生死背公式的恶习或使学生今后害怕数学。其二是完全抛弃算术应用题,一开始就向小学生介绍方程解法,这样学习的代数将成无源之水
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