数学史-数学思想.ppt

数学史与数学思想;从孙子算经谈起 贾宪三角形的应用 鸡兔同笼问题 纵横图趣谈 东家流水入西邻 趣谈图形的拼补 数学名家的思想;从孙子算经谈起;下面我们再来看一道稍微麻烦一点的问题，它出自于黄宗宪的“求一术通解”：求一数，五除余零，七百十五除余十，二百四十七除余一百四十，三百九十一除余二百四十五，一百八十七除余一百零九。仔细读题后发现：5除余0是废话，247除余140，余数是5的倍数，原数是5的倍数，因此这句话可变为247×5=1235除余140，同样第四句话可变为391×5=1955除余245。现在从1955除余245，1235除余140出发： 245，245+1955=2200，4155，6110，8065，10020 245， 965， 450，1170， 655， 140，第二行是第一行除以1235的余数。依次试除，发现10020即为所求之数。 问题（杨辉《续古摘奇算法》）：二除余一，五除余二，七除余三，九除余四，问本数。 ;??宪三角形的应用;贾宪三角形的有趣性质：我们从贾宪三角形中可以看出 ：（1）的展开式共有n+1项；（2）在的展开式中，与首末两端等远的项的系数相等；（3）如果的幂指数n是偶数，展开式中间一项最大，n是奇数时，中间两项相同且最大；（4）贾宪三角形第三条斜线1，3，6，10…即三角形数中任意相邻二数之和为平方数；（5）斜数第三列诸数的平方也恰好是；（6）斜数第四条斜线上诸数1，4，10，20，35，…即四面体数中相邻两数之和1+4，4+10，10+20，…恰好为；(7)如果p为质数，则第p行的数可以被p整除（两端的1除外）；（8）把虚线上的数相加可以得到Fibonacci数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…；（9）第行的所有数字都是奇数。 ;贾宪三角形的几何特性：隐藏在贾宪三角形中的几何性质更是令人拍案叫绝，这是波兰数学家Waclaw Sierpinski（1882-1969）三角形带给我们的享受，这是最有意义的分形图之一。画一个三角形，把它的三条边的中点相连，得到一个与原三角形相似的三角形，把这个三角形移走，留下3个小三角形，其边长是原三角形的一半，从这三个三角形中再移走三个更小的三角形，这样就得到了9个边长为原三角形的四分之一的小三角形。从理论上讲，这一过程可以无限进行下去，产生了一个越来越空的和自相似的图形，它不是直线即它不是一维的，也没有面积即它不是二维的，介于一维到二维之间。 现在我们建立一个由多行组成的贾宪三角形，偶数用黑体表示，如果把奇数去掉就出现三角形形状的洞，这样贾宪三角形就变成了Waclaw Sierpinsk三角形，行数越多就越接近。如果把被3整除的数用同一种颜色表示，就会得到一个新的完全由数字构成的三角形。 ?;鸡兔同笼问题;今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？答：鸡二十三，兔一十二。术曰：上置三十五头，下置九十四足，半其足得四十七，以少减多，再命之。上三除下四，上五除下七，下有一除上三，下有二除上五，即得。又术曰：上置头，下置足，以头除足，以足除头，即得。若从现在的观点看，孙子在解决这个问题时，很可能利用了方程。设鸡兔数分别为x,y，则 “上置头” x+y=A x+y=A “下置足” 2x+4y=B 半其足 x+2y=B/2 “以头除足”y=B/2-A(兔）, “以足除头”x=A-y（鸡） 结合我国古算题多用筹算的特点： 头 35 35 35 23 鸡 足 94 半其足 47 以头除足 12 以足除头 12 兔;代数解法：设想问题已解，未知存在且已求出，因此可用字母表示，并与已知同等看待，一起塞入方程之中！设鸡、兔分别有x,y只，头数、脚数分别为a,b。接着搞翻译：“有头a”译为x+y=a,”有脚b”译为2x+4y=b，于是得到x=(4a-b)÷2,y=(b-2a) ÷2。由此可见代数法解应用题有代数设想、代数翻译和解代数方程等步骤：代数设想的主要内容是?设想问题已解，未知存在，用字母表示。 ?尽量用字母表示已知?平等看待已知和未知量，允许施行代数运算。其目的为翻译打基础。代数翻译是将题目的条件用数学的关系表示出来，找出未知与已知间的联系，常常表现为从不同的角度看待同一个量。接下来的代数解法是不太难的了。 目前有两个极端：其一是在小学高年级大搞应用战术，这样回养成学生死背公式的恶习或使学生今后害怕数学。其二是完全抛弃算术应用题，一开始就向小学生介绍方程解法，这样学习的代数将成无源之水