六、速度合成公式的推广_NatureandScience.docVIP

4、速度合成公式的思考 在以速度 v 沿 K 系的 X 轴运动着的k系中，设有一个点依照下面的方程在运动： 此处 和 都表示常数。 求这个点对于 K 系的运动。借助于§3 中得出的变换方程，我们把x，y ，z，t 这些量引进这个点的运动方程中来，我们就得到： ，， 这样，依照我们的理论，速度的平行四边形定律只在第一级近似范围内才是有效的。我们令： 和 ；[20] α因而被看做是 v 和ω两速度之间的交角。经过简单演算后，我们得到： 值得注意的是，v 和ω是以对称的形式进入合成速度的式子里的。如果ω也取 X 轴 (Ξ 轴 ) 的方向，那么我们就得到：，从这个方程得知，由两个小于 V 的速度合成而得的速度总是小于 V 。因为如果我们置 此处 k 和 λ 都是正的并且小于V，那么： 进一步还可看出，光速 V 不会因为同一个“小于光速的速度”合成起来而有所改变。在这场合下，我们得到： 当 U 和 ω具有同一方向时，我们也可以把两个依照§3 的变换联合起来，而得到 U 的公式。如果除了在§3 中所描述的 K 和 k 这两个坐标系之外，我们还引进另一个对 k 做平行运动的坐标系k ，它的原点以速度ω在 Ξ 轴上运动着，那么我们就得到x，y，z，t 这些量同 k 的对应量之间的方程，它们同那些在§3 中所得到的方程的区别，仅仅在于以 这个量来代替“v”； 由此可知，这样的一些平行变换——必然地——形成一个群。 洛伦兹变换和爱因斯坦速度相加规建立在平直时空惯性参考系基础上，而现实世界中纯粹的惯性参考系是不存在的，在这种意义上狭义相对论应当被看成一种理想状态的理论。一般而言在有引力场存在的情况下，爱因斯坦速度相加规则仅是一个近似公式。但我们也知道，现有的关于光速不变的实验和观察都是在地球、太阳系和银河系的弱引力场空间范围内进行的。例如在地球绕太阳转动的轨道上完成的迈克耳逊-雷默干涉实验，对自转的太阳两边缘发出的光的观察【3】，对银河系内双星系统的光速的观察【4】，以及银河系内恒星和河外星系光行差现象的观察等等【5】。所有这些实验和观察都证明，即使在弱引力场和弱非惯性运动情况下，光的速度仍然与光源的运动状态无关，近似地满足爱因斯坦速度相加规则。 假设我们的旧相识，火车车厢，在铁轨上以恒定速度v行驶；并假设有一个人在车厢里沿着车厢行驶的方向以速度w从车厢一头走到另一头。那么在这个过程中，对于路基而言，这个人向前走得有多快呢？换句话说，这个人前进的速度W有多大呢？唯一可能的解答似乎可以根据下列考虑而得：如果这个人站住不动一秒钟，在这一秒钟里他就相对于路基前进了一段距离v，在数值上与车厢的速度相等。但是，由于他在车厢中向前走动，在这一秒钟里他相对于车厢向前走了一段距离儿也就是相对于路基又多走了一段距离w，这段距离在数值上等于这个人在车厢里走动的速度。这样，在所考虑的这一秒钟里他总共相对于路基走了距离W=v+w。我们以后将会看到，表述了经典力学的速度相加定理的这一结果，是不能加以支持的;换句话说，我们刚才写下的定律实质上是不成立的。但目前我们暂时假定这个定理是正确的。（摘自《浅说》第6节、经典力学中所用的速度相加定理的全文） 在狭义相对论中，两惯性系相对速度 与 和 平行 ????????? ??????????????????????????? ?????????????????????????????????? （1） （ ）为 坐标系的坐标，（ ）为 坐标系的坐标，令 ， ，所以变换矩阵为 ???????????? ?????????????? （2） ? 如果; ,相对速度 不变，那么 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????(3) ???? 比较? 与 ? ?（4）??????????????????????? ????????? ??????????????????????（5） 比较后知道（4）式=（5）式 ????????? ????????????? （6） 相对论中速度合成公式V=(V1±V2)÷（1±V1V2/C2），仅适用于同一直线上两个速度的合成。当物体的两个速度不在同一直线时，其合成公式又是怎样的呢？下面探讨一下当两个速度垂直时速度的合成，由于互相垂直 的两个速度互不影响，因此可从引力质量角度利用Lorentz transformation推导出来。 设物体的引力静止质量为m0，水平速度为v1，垂直速度为v2，合速度为v，不妨设先有水平速度v1，此时引力质量为 m1，由Lorentz transformation得m