2016考研数学三重积分2.pdf

多元函数微积分与 Mathematics线性常微分方程 Laboratory 阮小娥博士 Spring 2014 第六章 多元函数积分学及其应用 第三节 三重积分的计算 (4学时) ? 化三重积分为单积分与二重积分的 累次积分 ? 柱面坐标与球面坐标系下三重积分 的计算法 ? 小结 作业: 138 2,4(1)(4)(7)(10)(13),5,6(2)(3),7 1 在此首先复习：定积分是如何寻求计算方法的? 二重积分是如何解决计算问题的？ 三重积分又将通过什么思想寻求计算途径？ 2 第一部分 化三重积分为单积分与 二重积分的累次积分 三重积分: ?? ? ? ?V ?? R3 体积微元 ?V ? ? f ?M ?d? ? ??? f ?x, y,z? dV ?? ? ?V ? n ? lim ? f ??k ,?k ,? k ??Vk d?0 k?1 在直角坐标系中，若用平行于坐标平面的平面族划分积分域?? ? 则体积微元 dV ? ?x?y?z ? dxdydz . 从而 ??? f ?x, y,z? dV ? ??? f ?x, y,z? dxdydz ?V ? ?V ? 3 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 4 如图，闭区域 ?? ? 在 xoy 面上的投影为闭区域?? ?, ?? ? ? ??x, y?a ? x ? b, y1?x? ? y ? y2 ?x?? ?? ? ? ??x, y,z??x, y???? ?,z1?x, y?? z ? z2 ?x, y?? 令 ?? ? ? ???? ?, ?? ? ? ???V ? 则 z ?V ? ???z z ? z2 (x, y) f ?x, y,z? dV ? lim ? f ?x, y,z????z ??? d?0 ?? ? ?V ? S ? ? 2 ? lim ?? lim ? f ?x, y,z??z??? ?? ? d?0 ?? ?? max?z?0 z ? z ? z1(x, y) S1 z ?x,y? ? ?? ?? 2 f ?x, y,z?dz?d? z1?x,y? ?? ? o b y2 ?x? z2 ?x,y? a ? dx dy f ?x, y,z?dz y ? y (x) y ?a ?y ?x? ?z ?x,y? 1 (x, y) y ? y (x) 1 1 b ?? ? 2 即将三重积分化为先单积分后二重积分的累次积分x 例1 zdxdydz ??? ?? ? 计算三重积分 ?? ? ，其中 为三个坐标面及 平面 x ? y ? z ? 1所围成的闭区域. z 解 闭区域在xoy平面上的投影为 1 ?? ? ? ??x, y? x