6同余数问题与Langlands纲领问题研究.PDF

以“四个率先”引领科技创新跨越发展 6 同余数问题与?Langlands?纲领问题研究 记载于公元 972 年 M.B.Alhocain 的阿拉伯文稿中 数论、代数群与李群、代数几何、分析等数学各分支之 的同余数问题被称为“千年数论难题”，大数学家费 间存在着的深刻联系，而上述提到的“千禧问题”之一 马等都对此问题进行过系统性的研究。1952 年，数学 的 BSD 猜想，和另一“千禧问题”著名的 Riemann 猜想 家 Heegner 证明了模 8 余 5、6、7 的素数或素数的两倍 也都与 Langlands 纲领密切相关。近年来在 Langlands 纲 都是同余数。近年来，中科院数学院团队在这个已有千 领领域研究中已产生两个菲尔兹奖，但其中心问题还远 余年历史的同余数问题研究中取得重大突破，通过算术 未解决。 L- 函数是 Langlands 纲领的核心对象，而典型 几何、自守形式、L 函数、Galois 表示等数学分支交叉 群表示论是研究 L-函数的基本工具。近年来，数学院 融合研究，证明了对任意给定 K，均存在无穷多个本质 团队在 Langlands 纲领这一重大问题上取得突破，和国 素因子个数恰为 K 的同余数，并对相应的椭圆曲线证明 际数学家合作彻底解决了典型群重数一猜想，以及典型 了“七大千禧问题”之一的 BSD 猜想。主要结果发表于 群 Theta 对应理论中 3 个最基本问题：重数保守猜想、守 《美国科学院院刊》（ PNAS） 和《剑桥数学杂志》， 恒律猜想和对偶猜想，这些成果为相关 L-函数理论奠定 剑桥大学教授、国际数论权威 John H.Coates 在 PNAS 发 了基础。美国 Mathematical Reviews 期刊评论该项成果 表专文评论，指出该问题是“数论，也许是整个数学 是“该领域的基本定理之一”。国际同行评价“该成果 中，最古老未解的主要问题”, 田野的工作是这个古老 证明了 Theta 对应理论中最重要猜想之一”，主要结果 问题的里程碑”。成果主要完成人获拉马努金奖、晨兴 发表于数学国际顶尖期刊 ?Ann. Math.、Invent. Math. 和 J. 数学金奖。同样起源于数论的 Langlands 纲领，被数学 Am. Math. Soc.?上。 界公认为是 21 世纪最重大的数学难题之一，它预言了 剑桥大学教授 John H. Coates 在 PNAS 发专文评价此成果 20 2016年 . 第31卷 . 增刊 中国科学院“十二五”重大科技成果及标志性进展 专家点评 同余数问题是数学中最古老的未解之谜。根据古书记载，同余数最早的纪录始见于?1?000?多年之前的一个无 名氏阿拉伯手稿。在这个手稿里，一个同余数被定义为边长为有理数直角三角形的面积。同余数问题就是判断一 个给定的正整数是否是同余数。关于构造同余数的第一个重要成就是由德国数学家?Heegner?在?1952?年得到。他 具体地构造出无穷多个同余素数。在其后的?60?年中，数学家企图对任意一个正整数?K，构造出无穷多个为?K- 素 数积的同余数。当?K=2?时，有一些零星的结果。一直到?2011?年这个构造由田野给出。田野的工作基于同余数问 题和?BSD?猜想的联系。BSD?猜想是?Clay?研究所?2000?年列出的奖金为?100?万美元的?7?大千禧问题之一。田野的工