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(8.5)1元2次方程考点热点全攻略
成都戴氏教育兴盛校区
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一元二次方程考点热点全攻略
考点、难点、热点
1、一元二次方程的定义
一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式:,为二次项系数,为一次项系数,为常数项.
2、一元二次方程的判别式与公式法:
设一元二次方程为,其根的判别式为:,是方程的两根,则:
⑴ 方程有两个不相等的实数根.
⑵ 方程有两个相等的实数根.
= 3 \* GB2 ⑶ 方程没有实数根.
若、、为有理数,且为完全平方式,则方程的解为有理根;
若为完全平方式,同时是的整数倍,则方程的根为整数根.
3、可化为一元二次方程的特殊方程:
①解方程的基本思想:
化分式方程为整式方程;化高次方程为一次或二次方程;化多元为一元;化无理方程为有理方程.
总之:最后转化为一元一次方程或一元二次方程.
②解方程的基本方法:
解整式方程:一般采用消元(加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等),降次(换元降次、因式分解降次、辅助式降次等)等方法.
解分式方程:一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法.
解无理方程:一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法.
一元二次方程的认识
⑴ 要判断一个方程是否是一元二次方程,必须符合以下三个标准:
一元二次方程是整式方程,即方程的两边都是关于未知数的整式.
一元二次方程是一元方程,即方程中只含有一个未知数.
一元二次方程是二次方程,也就是方程中未知数的最高次数是.
⑵ 任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式.
要特别注意对于关于的方程,当时,方程是一元二次方程;当且时,方程是一元一次方程.
⑶ 关于的一元二次方程式的项与各项的系数.
为二次项,其系数为;为一次项,其系数为;为常数项.
一元二次方程根的判别式的定义:
运用配方法解一元二次方程过程中得到 ,显然只有当时,才能直接开平方得:.
也就是说,一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根.这里叫做一元二次方程根的判别式.
判别式与根的关系:
在实数范围内,一元二次方程的根由其系数、、确定,它的根的情况(是否有实数根)由确定.
判别式:设一元二次方程为,其根的判别式为:则
①方程有两个不相等的实数根.
②方程有两个相等的实数根.
③方程没有实数根.
若,,为有理数,且为完全平方式,则方程的解为有理根;
若为完全平方式,同时是的整数倍,则方程的根为整数根.
说明: (1)用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用,当方程有两个不相等的实数根时,;有两个相等的实数根时,;没有实数根时,.
(2)在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根).当时,方程有两个相等的实数根(二重根),不能说方程只有一个根.
① 当时抛物线开口向上顶点为其最低点;
② 当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
一元二次方程的根的判别式的应用:
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用:
(1)运用判别式,判定方程实数根的个数;
(2)利用判别式建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围;
(3)通过判别式,证明与方程相关的代数问题;
(4)借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题,最值问题.
如果一元二次方程()的两根为那么,就有
比较等式两边对应项的系数,得
①式与②式也可以运用求根公式得到.人们把公式①与②称之为韦达定理,即根与系数的关系.
因此,给定一元二次方程就一定有①与②式成立.反过来,如果有两数满足①与②,那么这两数必是一个一元二次方程的根.利用这一基本知识常可以简捷地处理问题.
利用根与系数的关系,我们可以不求方程的根,而知其根的正、负性.
在的条件下,我们有如下结论:
当时,方程的两根必一正一负.若,则此方程的正根不小于负根的绝对值;若,则此方程的正根小于负根的绝对值.
当时,方程的两根同正或同负.若,则此方程的两根均为正根;若,则此方程的两根均为负根.
⑴ 韦达定理:
如果的两根是,,则,.(隐含的条件:)
⑵ 若,是的两根(其中),且为实数,当时,一般地:
① ,
② 且,
③ 且,
特殊地:当时,上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件.
⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是:.
⑷ 其他:
若有理系数一元二次方程有一根,则必有一根(,为有理数).
若,则方程必有实数根.
若,方程不一定有实数根.
若,则必有一根.
若,则必有一根.
⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面:
已知方程的一个根,求另一个根
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