0348“数理统计”【随堂练习】.docVIP

0348《数理统计》【 随堂练习】（3）2010-12-19 08:30:00 -- 09:50:00 1　设总体 服从参数为（N，p）的二项分布，其中（N，p）为未知参数， 为来自总体 的一个样本，求（N，p）的矩法估计。 答：1　因为 ，只需以 分别代 解方程组得 。 2　设总体 服从[a，b]上的均匀分布其中a，b为两个未知参数，样本 来自总体 ，求未知参数a，b的矩法估计。 答：2　由 服从[a，b]上的均匀分布，易知 为求a，b的矩法估计量只需解方程组 得 。 3　设连续型总体 的概率密度为 ， 来自总体 的一个样本，求未知参数 的极大似然估计量 ，并讨论 的无偏性。 答：3　似然函数为 　　其中 因此 的极大似然估计量 是 的无偏估计量。 4　设总体 的概率密度为 其中 为未知参数，样本 来自总体 ，求未知参数 的矩法估计与极大似然估计。 答：4　首先求数学期望 从而解方程 得 的矩法估计为 。 似然函数为 令 解得 的极大似然估计为 。 5　设 是取自正态总体 的一个容量为的样本，试证下列三个估计量都是μ的无偏估计量： ，并指出其中哪一个方差较小。 答：5　由于 且 独立，故有 　　故它们均为μ的无偏估计，又由于1/25/95/8，所以第三个估计量的方差最小。 ?6　设 是取自正态总体 的一个样本，试证 是 的相合估计。 答：6　由于 服从自由度为n-1的 -分布，故 　　　　　　　　　　　　　　 从而根据车贝晓夫不等式有 所以是 是 的相合估计。 7　设 是取自具有下列指数分布的一个样本， ，证明 是θ的无偏、相合、有效估计。 答：7　首先由于 ，故 ，即样本均值是θ的无偏估计。　　又 故C-R下界为 ，因此样本均值是θ的有效估计　　另外由车贝晓夫不等式 所以样本均值还是θ的相合估计。 8　设 是独立同分布随机变量都服从几何分布 则 是θ的充分统计量。 答：8　由于 的联合密度函数为 则由因子分解定理知 是θ的充分统计量。 9　设 是独立同分布随机变量，其分布是均匀分布 ，其密度函数 试证（1） 是θ的无偏估计；（2） 是θ的UMVUE。 答：9（1）由 知 是θ的无偏估计；　　（2） 则由因子分解定理知 是θ的充分统计量，其密度函数为 又若 ，则 即 ，两边对θ求导得 故 ，所以 是完备充分统计量，由此得出 是θ的UMVUE。 10　随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布，试求总体均值 的0.9的置信区间。（1）若已知σ=0.01（厘米），（2）若σ未知。 答：10（1） 置信度0。9，即α=0。1，查正态分布数值表，知 即 所以总体均值 的0。9的置信区间为 　　（2）σ未知 置信度0。9，即α=0。1，自由度n-1=15， 查t-分布的临界值表 所以置信度为 0。9的μ的置信区间是 11　某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田18块，每块面积1/20亩进行试验，试验结果：不施肥的10块试验田的收获量分别为8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5（单位：市斤），其余8块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三次氮肥，其收获量分别为12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.5，10.6，12.2。假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率0.95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产的幅度。 答：11　设正态总体 分别表示施肥和不施肥的每1/20亩的水稻收获量，据题意，有 对1-α=0.95，即α=0.05，查t分布表（自由度为n+m-2=16），得 ，于是 所以在置信概率0。95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产0.6到2.8市斤。 12　岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得S=0.2，求 的置信区间（α=0.1）。 答：12　n=12，α=0.10，s=0.2查 分布表（自由度为n-1=11），得 因此 所以 的置信区间为[0.022335，0.09628]。 13　随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差为11（米/秒）。设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹速度的标准差σ的0.9的置信区间。 答：13　求方差的置信区间： S=11置信度0。9，即α=0。1，自