04第4节正态总体的置信区间.docVIP

第四节 正态总体的置信区间 与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t分布、分布、F分布以及标准正态分布扮演了重要角色. 本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间; 4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间; 5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间; 6. 双正态总体方差比的置信区间. 注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间 ★ 例1 ★ 例2 ★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4 ★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间 ★ 例7 ★ 例8 ★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4 内容要点： 一、单正态总体均值的置信区间(1) 设总体 其中已知, 而为未知参数, 是取自总体X的一个样本. 对给定的置信水平, 由上节例1已经得到的置信区间 二、单正态总体均值的置信区间(2) 设总体其中,未知, 是取自总体X的一个样本. 此时可用的无偏估计代替, 构造统计量 , 从第五章第三节的定理知 对给定的置信水平, 由 , 即 因此, 均值的置信区间为 三、单正态总体方差的置信区间 上面给出了总体的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差进行区间估计. 设总体其中,未知,是取自总体X的一个样本. 求方差的置信度为的置信区间. 的无偏估计为, 从第五章第三节的定理知, , 对给定的置信水平, 由 于是方差的置信区间为 而方差的置信区间 四、双正态总体均值差的置信区间(1) 在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总??的均值差或者方差比的置信区间。 设是总体的容量为的样本均值, 是总体的容量为的样本均值, 且两总体相互独立, 其中已知. 因与分别是与的无偏估计, 从第五章第三节的定理知 对给定的置信水平, 由 可导出的置信度为的置信区间为 五、双正态总体均值差的置信区间(2) 设是总体的容量为的样本均值, 是总体的容量为的样本均值, 且两总体相互独立, 其中,及未知.从第五章第三节的定理知 其中 对给定的置信水平, 根据t分布的对称性, 由 可导出的置信区间为 六、双正态总体方差比的置信区间 设是总体的容量为的样本方差, 是总体的容量为的样本方差, 且两总体相互独立, 其中未知. 与分别是与的无偏估计, 从第五章第三节的定理知 对给定的置信水平, 由 可导出方差比的置信区间为 例题选讲： 单正态总体均值的置信区间(1) 例1（讲义例1）某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额, 随机访问了100名旅游者, 得知平均消费额元. 根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差元, 求该地旅游者平均消费额的置信度为95%的置信区间. 解 对于给定的置信度 查标准正态分布表 将数据 代入计算得的置信度为95%的置信区间为 即在已知情形下, 可以95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在77.6元至82.4元之间. 例2（讲义例2）设总体 其中未知, 为其样本. (1) 当时, 试求置信度分别为0.9及0.95的的置信区间的长度. (2) n多大方能使的90%置信区间的长度不超过1? (3) n多大方能使的95%置信区间的长度不超过1? 解 (1) 记的置信区间长度为A, 则 于是当时, 当时, (2) 欲使 即 必须 于是, 当时, 即 即至少为44时, 的90%置信区间的长度不超过1. (3) 当时，类似可得 注: ①由(1)知, 当样本容量一定时, 置信度越高, 则置信区间长度越长, 对未知参数的估计精度越低. ②在置信区间的长度及估计精度不变的条件下, 要提高置信度, 就须加大样本的容量以获得总体更多的信息. 单正态总体均值的置信区间(2) 例3（讲义例3）某旅行社随机访问了25名旅游者, 得知平均消费额元, 子样标准差元, 已知旅游者消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费额的