04、1元2次方程式.docVIP

 PAGE 52 四、一元二次方程式 就一般而言，凡是使得方程式等号成立的数称之为方程式的解；而使得多项式的值为零的数称之为多项式的根。因此，一元二次方程式的解就是所对应的二次多项式的根。所以，我们也称此类方程式的解为根。 我们将首先介绍常见的一元二次方程式的三种解法：因式分解法、配方法和公式解。然后，利用判别式来探讨两根的特性，最后再讨论根与系数之间的关系。 4-1 一元二次方程式的解法 【因式分解法】 因为一元二次方程式（a、b和c为实数且a0）的左式为二次多项式，如果我们能将这个多项式因式分解成两个一次多项式的乘积，就很容易求得方程式的解。我们以下面的例子来说明这种解法。 【范例1】求的解。 【解】 利用移项可把原方程式改写为 = 0。 由因式分解，可得 = 因此，原方程式改写为 = 0 所以，可得 或 即 或。 【类题练习1】求的解。 【配方法】 我们也可以利用平方根的概念来解方程式，例如将改写为的形式，进而解得。其过程如下： 　　 　　两边同加 　 　　左式可写成完全平方式 　 　　∵右式为正，两边开平方 　 　　 　 上面的例子是利用配成完全平方式的方法，先将方程式改写成(x－h)2＝k的形式。当时，我们就可以利用平方根的概念来解题： 　　　　　　即　　　　 　　　　　　两边同时开方 xh = 　　　　　　移项　　　　 x = 注：x = 表示x = 或x = 。 我们将这个方法称为配方法，也就是配成完全平方的意思。以下的例题继续来说明这种解法。 【范例2】求下列各方程式的解： (1) (2) 【解】 (1) x3 = 1或x3 =1 x = 2或x = 4 (2) 或 或 在上例中，我们当然也可用十字交乘法来做因式分解。但下面的例题，因不易做因式分解，所以配方法会成为一个很好用的解法。 【范例3】求下列各方程式的根： (1) = 0 (2) = 0 【解】 (1) 或 或 注：我们常以x = 来表示 x = 或 x = 。 (2) = 观察：在范例3第(1)题中， 　　　 两个根的和为， 两个根的积为=== 2。 在范例3第(2)题中， 　两个根的和为= ， 两个根的积为= = =。 同学们能看出这两个方程式的两根和与积似乎和方程式的系数之间有着某种关系吗？ 【类题练习2】利用配方法求下列各式的解： (1) = 0 (2) = 0 【公式解】 将配方法运用在一般式(a0)的求解时，其步骤如下： 方程式 (a0) 两边同除以 常数项移到右边 在左右二式同加 　　左式可化为完全平方 　　 这个结果与前面(x－h)2 = k的形式相同，因为恒为正数或0，所以当时，我们得到 ， 即 （或写成x）。 也就是说，当时，方程式的解为： 或x = 　　虽然利用配方法解一元二次方程式的程序较为复杂，但观察其过程，每一步骤都有迹可循。若避开繁复的运算过程，直接将方程式的系数代入这个解的通式，即可得到方程式的解。因此，我们利用上面的通式求解，称为公式解。 虽然我们将在下一节中，才会完整的讨论如何由的符号来了解方程式两个根的特性，在这里仍先称为根的判别式。 【范例4】用公式解求的解。 【解】 先检验判别式是否大于0或等于0。因为28＞0，所以方程式有实数解。由公式解得知： x = = = 【类题练习3】利用根的公式解下列方程式： (1) (2) 我们可以利用一元二次方程式的解法，来解某些类型的方程式，现在来看下面的例子。 【范例5】已知一个正数比其倒数的两倍多1，求此数。 【解】 设此正数为x。 依题意列式 两边同乘以x，得 移项得一元二次方程式 ∵ = = 0 ∴ x = 2或x = 1（不合题意） 所以，此正数为2。 【类题练习4】解方程式。 【范例6】一个长为a，宽为b的矩形，如果它的长与宽满足的关系，我们称之为「黄金矩形」。求黄金矩形的长与宽的比值为何？ 【解】 令。 ∵ ∴ 再来解。 两边同乘以x，得 移项