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第五节 隐函数微分法 分布图示 ★ 一个方程的情形（1） ★ 例1 ★ 例2 ★ 一个方程的情形（2） ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 方程组的情形 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题9—5 ★ 返回 内容要点 一、一个方程的情形 定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数, 且则方程 在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 它满足 并有 (5.2) 定理2 设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数, 且 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件,并有 (5.4) 二、方程组的情形 定理3 设在点的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，又 且函数、雅可比行列式在点不等于零，则方程组 在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 它们满足条件 其偏导数公式由(5.9)和(5.10)给出. ， . (5.9) ， . (5.10) 例题选讲 一个方程的情形 例1（E01） 验证方程在点(0, 1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导数、当时的隐函数,求这函数的一阶和二阶导数在的值. 证 令则 依定理知方程在点的某领域内能唯一确定一个有连续导数,当时的隐函数函数的一阶和二阶导数为 例2 求由方程 所确定的隐函数的导数 解 此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过,这里我们直接用公式求之. 令则 由原方程知时，所以 例3 求由方程 是常数）所确定的隐函数的偏导数和 解 令则显然都是连续.所以，当时，由隐函数存在定理得 例4（E02）设 求 解 令则 注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，不一定非得套公式，尤其在方程中含有抽象函数时，利用求偏导或求微分的过程则更为清楚. 例5（E03）设 求 解 看成的函数对求偏导数得 把看成的函数对求偏导数得 把看成的函数对求偏导数得 例6（E04）设其中F具有连续偏导数，且求证 证 由题意知方程确定函数在题设方程两边取微分,得 即有 合并得 解得 从而 于是 例7 设方程 确定了隐函数，求 解 方程两边分别对求偏导和对求偏导,得 所以 同理 例8 设而是由方程所确定的的函数，求 解 将看作的函数,所给的方程两边对求偏导数得 即 于是 例9 设 由方程 确定，其中具有一阶连续的偏导数，且 求 解 因由确定,故 (其中 于是 例10（E05）设 求 解 由题意知,方程组确定隐函数组 在题设方程组两边对求偏导,得 利用克莱姆法则, 解得 例11（E06）设求, 解一 由题意知, 方程组确定隐函数 在题设方程组两边取微分,有 把看成未知的,解得 即有 同理, 我们还可以求出从而得到 注: 此题也可用公式法求解. 解二 用公式推导的方法, 将所给方程的两边对求导并移项得 在的条件下,有 将所给方程的两边对求导, 用同样方法得 例12 设其中具有连续的偏导数且 求 解 由题意知,题设方程组隐含函数组在方程两端对 求导,得 (1) 又由方程知 (2) 再在方程两边对求导,得 解得 (3) 把(2)、(3)代入(1),即得 注: 此题也可以利用多元??数的一阶微分形式不变性及微分的四则运算方便地计算出, 请读者试之. 例13（E07）在坐标变换中我们常常要研究一种坐标与另一种坐标之间的关系. 设方程组 (5.14) 可确定隐函数组 称其为方程组(5.14)的反函数组. 设具有连续的偏导数，试证明 证 将代入(1),有 在方程组两端分别对和求偏导,得 和 即 由 证毕. 注: 此结果类似于一元函数反函数的导数公式 推广到三维情形: 若确定反函数组 则在一定条件下,有 例14（E08）设方程组确