06项目五矩阵运算和方程组求解.docVIP

附录Ⅰ 大学数学实验指导书 项目五 矩阵运算与方程组求解 实验1 行列式与矩阵 实验目的 掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Mathematica (4.0以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、 数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式. 基本命令 在Mathematica中, 向量和矩阵是以表的形式给出的. 1. 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式, 表达式之间用逗号隔开. 如输入 {2,4,8,16} {x,x+1,y,Sqrt[2]} 则输入了两个向量. 2. 表的生成函数 最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下: Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n}; Range[m, n]—生成表{m,…,n}; Range[m, n, dx]—生成表{m,…,n}, 步长为dx. (2) 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令 Table[n^3,{n,1,20,2}] 则输出 {1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859} 输入 Table[x*y,{x,3},{y,3}] 则输出 {{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}} 3. 表作为向量和矩阵 一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵 可以用数表{{2,3},{4,5}}表示. 输入 A={{2,3},{4,5}} 则输出 {{2,3},{4,5}} 命令MatrixForm[A]把矩阵A显示成通常的矩阵形式. 例如, 输入命令: MatrixForm[A] 则输出 但要注意, 一般地, MatrixForm[A]代表的矩阵A不能参与运算. 输入 B={1,3,5,7} 输出为 {1,3,5,7} 输入 MatrixForm[B] 输出为 虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量, 但实质上Mathematica不区分行向量与列向量. 或者说在运算时按照需要, Mathematica自动地把向量当作行向量或列向量. 下面是一个生成抽象矩阵的例子. 输入 Table[a[i,j],{i,4},{j,3}] MatrixForm[%] 则输出 注:这个矩阵也可以用命令Array生成,如输入 Array[a,{4,3}]//MatrixForm 则输出与上一命令相同. 4. 命令IdentityMatrix[n]生成n阶单位矩阵. 例如,输入 IdentityMatrix[5] 则输出一个5阶单位矩阵(输出略). 5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n阶对角矩阵. 例如,输入 DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}] 则输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}} 它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵. 6. 矩阵的线性运算:A+B表示矩阵A与B的加法;k*A表示数k与矩阵A的乘法; A.B或 Dot[A,B]表示矩阵A与矩阵B的乘法. 7. 求矩阵A的转置的命令:Transpose[A]. 8. 求方阵A的n次幂的命令:MatrixPower[A,n]. 9. 求方阵A的逆的命令:Inverse[A]. 10.求向量a与b的内积的命令:Dot[a,b]. 实验举例 矩阵A的转置函数Transpose[A] 例1.1 求矩阵的转置. 输入 ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}}; Transpose[ma]//MatrixForm 输出为 如果输入 Transpose[{1,2,3}] 输出中提示命令有错误. 由此可见, 向量不区分行向量或列向量. 矩阵线性运算 例1.2 设求 输入 A={{3,4,5},{4,2,6}}; B={{4,2,7},{1,9,2}}; A+B//MatrixForm 4B-2A//MatrixForm 输出为 如果矩阵A的行数等于矩阵B的列数, 则可进行求AB的运算. 系统中乘法运算符为“.”, 即用A.B求A与B的乘积, 也可以用命令Dot[A,B]实现. 对方阵A, 可用MatrixPower[A,n]求其n次幂. 例1.3 设求矩阵ma与mb的乘积. 输入 Clear[ma,mb]; ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}}; mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}}; ma.mb//MatrixForm 输出为 矩阵的乘法运算 例1.4 设求AB与并求 输入 Clear[A,B]; A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}}; B={1,0,1}; A.B 输出为 {