07第7节二阶常系数非齐次线性微分方程.docVIP

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为 (8.1) 根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(8.1)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(8.1)的通解. 上节我们已经解决了求其对应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程(8.1)的一个特解. 方程(8.1)的特解的形式与右端的自由项有关，如果要对的一般情形来求方程(8.1)的特解仍是非常困难的，这里只就的两种常见的情形进行讨论. 1.,其中是常数,是的一个次多项式:； 2. 或，其中，是常数，是的一个次多项式. 分布图示 ★ 二阶常系数非齐次线性方程的求解问题 ★ 型 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 或型 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-7 内容要点： 一、型 当时，二阶常系数非齐次线性微分方程(8.1)具有形如 (8.4) 的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2. 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8.4)式中的k是特征方程的根的重数（即若不是特征方程的根，取0；若是特征方程的重根，取为）. 二、或型 即要求形如 (8.7) (8.8) 两种方程的特解. 由欧拉公式知道，和分别是 的实部和虚部. 我们先考虑方程 . (8.9) 这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过. 假定已经求出方程(8.9)的一个特解，则根据第六节的定理5知道，方程(8.9)的特解的实部就是方程(8.7)的特解，而方程(8.9)的特解的虚部就是方程(8.8)的特解. 方程(8.9)的指数函数中的()是复数，特征方程是实系数的二次方程，所以只有两种可能的情形：或者不是特征根，或者是特征方程的单根. 因此方程(8.9)具有形如 (8.10) 的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8.10)式中的k是特征方程含根的重复次数. 例题选讲： 型 例1（E01）下列方程具有什么样形式的特解? (1) (2) (3) 解 (1) 因不是特征方程的根,故方程具有特解形式： (2) 因是特征方程的单根,故方程具有特解形式: (3) 因是特征方程的二重根，所以方程具有特解形式： 例2（E02）求方程的一个特解. 解 题设方程右端的自由项为型，其中 对应的齐次方程的特征方程为 特征根为 由于不是特征方程的根，所以就设特解为 把它代入题设方程,得 比较系数得解得 于是，所求特解为 例3（E03）求方程的通解. 解 题设方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为 于是，该齐次方程的通解为 因是特征方程的单根，故可设题设方程的特解： 代入题设方程,得比较等式两端同次幂的系数,得 于是，求得题没方程的一个特解 从而，所求题设方程的通解为 例4 求微分方程的通解. 解 特征方程为特征根为 故对应齐次方程的通解为 观察可得, 的一个特解为的一个特解为 例5求方程的特解. 解 其对应齐次方程的特征方程为解得特征根为由第六节定理4知,题设方程的特解是下列两个方程的特解的和: (1) (2) 因特征方程有重根所以设方程(1)的特解 将其代入方程并消去整理后得 即 于是得特解 又因特征方程有重根所以设方程(2)的特解为 求导后代入方程，解出得特解 所以题设方程的特解为： 例6求方程的通解. 解 对应的齐次方程的特征方程为特征根 所求齐次方程的通解 由于不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为代入题设方程易解得 故所求方程的通解为 例7 求方程的通解. 解 对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解 作辅助方程 是单根,故设代入上式得 取虚部得所求非齐次方程特解为 从而题设方程的通解为 或型 例8（E04）求