08_圆锥曲线方程15.docVIP

第  PAGE 14 页 共  NUMPAGES 14 页 圆锥曲线教案 对称问题教案 ? 教学目标 1．引导学生探索并掌握解决中心对称及轴对称问题的解析方法． 2．通过对称问题的研究求解，进一步理解数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力． 3．通过对称问题的探讨，使学生会进一步运用运动变化的观点，用转化的思想来处理问题． 教学重点与难点 两曲线关于定点和定直线的对称知识方法是重点．把数学问题转化为对称问题，即用对称观点解决实际问题是难点． 教学过程 师：前面学过了几种常见的曲线方程，并讨论了曲线的性质．今天这节课继续讨论有关对称的问题．大家想一想：点P(x，y)、P′(x′，y′)关于点Q(x0，y0)对称，那么它们的坐标应满足什么条件？ 师：P(x，y)，P′(x′，y′)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？ 生：P和P′的中点是原点．即x=-x′且y=-y′． 师：若P和P′关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？ 生：x=x′且y=-y′． 师：若P和P′关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？ 生：y=y′且x=-x′． 师：若P和P′关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？ 生：y=x′且x=y′． 生：它们关于直线y=x对称． 师：若P与P′关于直线Ax+By+C=0对称，它们在位置上有什么特征？ 生：P和P′必须在直线Ax+By+C=0的两侧． 师：还有补充吗？ 生：PP′的连线一定与直线Ax+By+C=0垂直． 师：P与P′在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称了吗？ 生：还需要保证P和P′到直线Ax+By+C=0的距离相等． 师：P与P′到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？ 生：就是P与P′的中点落在直线Ax+By+C=0上，换句话说P与P′的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0． 师：下面谁来总结一下，两点P(x，y)、P′(x′，y′)关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件？ 生：应满足两个条件．第一个条件是PP′的连线垂直于直线Ax+By+C=0，第二个条件是P，P′的中点应落在直线Ax+By+C=0上． 师：这两个条件能否用方程表示呢？ (在黑板上可画出图形(如图2-72)，可直观些) 生：方程组： 师：这个方程组成立说明了什么？它能解决什么问题？ 生：方程组中含有x′，y′，也可认为这是一个含x′，y′的二元一次方程组．换句话说，给定一个点P(x，y)和一条定直线Ax+By+C=0，可以求出P点关于直线Ax+By+C=0的对称点P′(x′，y′)的坐标． 师：今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性．但也还有其他方法，大家一起看下面的例题． 例1? 已知直线l1和l2关于直线2x-2y+1=0对称(如图2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程． (选题目的：熟悉对称直线方程) 师：哪位同学有思路请谈谈． 生：先求出已知两直线的交点，设l2的斜率为k，由两条直线的夹角公式可求出k，再用点斜式求得l2的方程． (让这位同学在黑板上把解题的过程写出来，大家订正．) 由点斜式，l2的方程为4x-6y+3=0． 师：还有别的解法吗？ 生：在直线l1上任取一点，求出这点关于2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出l2的直线方程。 (让这位学生在黑板上把解题过程写出来，如有错误，大家订正．) 解? 由方程组： 师：还有别的解法吗？ 生：在l2上任取一点P(x，y)，则P点关于2x-2y+1=0对称的点P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程组，解出x′，y′，代入l1问题就解决了． 师：请你到黑板上把解题过程写出来． 解? 设P(x，y)为l2上的任意一点， 则P点关于直线2x-2y+1=0对称，点P′(x′，y′)在l1上(如图2-75)， 又因为P′(x′，y′)在直线l1：3x-2y+1=0上， 所以3·x′-2y′+1=0． 即l2的方程为：4x-6y+3=0． 师：很好，大家刚才的几种解法是求对称直线方程的常规方法．那么，如果把l1改为曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？ 引申：已知：曲线C：y=x2，求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程． (选题目的：进一步熟悉对称曲线方程的一般方法．) 师：例1中的几种解法还都适用吗？ 生：第二种和第三种方法还能适用． 师：谁来试一试？ 生：可先在y=x2上任取一点P0(x0，y0)，它关于直线的对称点P′(x1，y1)，可得它们的交点，从中解出x0，y0代入曲线y=x2即可(如图2-76)． (让学生把他的解法写出来．) 解? 设P0(x0，y0)是曲线C：y=x2上任意一点，它关于直线x-y-2=0对称的点为P′(x1，y1)，因此，连结P0(x