08第八讲实数与二次根式.docVIP

第8讲 实数与二次根式 本讲重点：平方根、立方根的概念与性质，二次根式的概念及其加、减、乘、除运算. 【考点链接】 1．平方根和算术平方根：若x2=a，则x叫做a 的 ，非负数a的平方根表示为±，其中叫做a的 ；一个正数的平方根有两个，他们互为 ，零的平方根是零. 2．立方根：若x3=a，则x叫做a的 ，任何一个实数都有一个立方根. 3．实数的分类: 或实数 4. 二次根式：形如（a≥0）的式子叫做二次根式．在二次根式中，字母a必须满足a≥ ．二次根式的化简结果一定要化为最简二次根式. 5．二次根式性质： （1） （a≥0）； （2） （a≥0，b≥0）； （3） （a≥0，b＞0）；（4）= . 6．二次根式的乘除法： ·= (a≥0,b≥0)， （a≥0，b＞0）. 7．二次根式的加减：与合并同类项类似，就是把二次根式的系数相 ，根指数与被开??数不变． 【典例探究】 考点1 平方根、算术平方根、立方根的概念与实数的分类 『例1』 （1）（2012贵州安顺）在实数：3.14159，，1.010010001…，，π，中，无理数的（　　） 　 A． 1个　B．2个　C． 3个　　D． 4个 （2）（2012日照）（﹣2）2的算术平方根是（　　） A．2 B．±2 C．﹣2 D． （3）（2012盐城模拟）27的立方根为　 　． （4）（2012茂名模拟）已知：一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是　 　． 『解析』（1）解：∵=4，∴无理数有：1.010010001…，π．故选B． （2）∵（﹣2）2=4，4的算术平方根为2，∴（﹣2）2的算术平方根是2．故选A． （3）∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为3． （4）∵一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，∴2a﹣2+a﹣4=0，解得a=2． 『备考兵法』常见的无理数有三类：（1）开方开不近的数，如等；（2）与有关的数，如2π，；（3）有规律但不循环的数，如0.30330333033330…（两个0之间依次多一个3）同时注意，所有的分数和整数都是有理数，分数都可以化成有限小数或无限循环小数. 考点2 二次根式的概念和性质 『例2』（1）（教材习题变式题）如果是二次根式，那么应适合的条件是（ ） A． B． C． D． （2）（2012徐州模拟）若式子实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A、x≥1 B、x＞1 C、x＜1 D、x≤1 （3）（教材习题变式题）如果，则的算术平方根为 . （4）（2012日照模拟）已知x，y为实数，且满足 QUOTE \* MERGEFORMAT =0，那么x2012﹣y2012=　 　． （5）（2012达州模拟）若 QUOTE \* MERGEFORMAT ，则 QUOTE \* MERGEFORMAT =　 　． 『解析』（1）由≥0，得5－x＜0，所以.故选C. （2）解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0，∴x≥1，故选A． （3）由题意，得： ， . （4）∵ QUOTE \* MERGEFORMAT =0，∴ QUOTE \* MERGEFORMAT =0， ∴x+1=0，y﹣1=0，解得x=﹣1，y=1，∴x2012﹣y2012=（﹣1）2012﹣12012=1﹣1=0． （5）∵ QUOTE \* MERGEFORMAT ，∴ QUOTE \* MERGEFORMAT +（b+1）2=0， ∴a2﹣3a+1=0，b+1=0，∴ QUOTE \* MERGEFORMAT =3，=7；b=﹣1．∴ QUOTE \* MERGEFORMAT =7﹣1=6． 『备考兵法』理解二次根式的定义要注意： (1)从形式上看，二次根式必须含有二次根号. (2)被开方数a可以是数，也可以是代数式，但a一定是非负的. (3)根据算术平方根的性质可知，(a≥0)一定是非负数.即它是a的算术平方根. 考点3 二次根式的运算 『例3』（教材习题变式题）计算： (1) ； （2）. （3）；(4) ； (5) ；（6）. 『解析』(1) 原式=. （2）原式==45. （3）原式= (4) 原式=； (5) 原式==4+10=14. （6）原式= . 『备考兵法』（1）二次根式混合运算的运算次序是：先乘除，后加减； （2）整式