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1.1集合的含义和其表示方法
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§1.1 集合的含义及其表示方法
教学目标:理解集合的含义,知道常用数集及其记法;
初步了解属于关系和集合相等意义,初步了解集合的分类及性质;
初步掌握集合的表示方法,并能正确地表示一些简单的集合.
教学重点:集合的含义及其表示方法.
教学过程:
一、问题情境
1.蓝蓝的天空中,一群鸟在欢快的飞翔;茫茫的草原上,一群羊在悠闲地走动;清清的湖水里,一群鱼在自由的游泳;……鸟群,羊群,鱼群……都是“同一类对象汇集在一起”,这就是本章将要学习的集合.
2.在初中学习数的分类时,已接触过“正数的集合”、“负数的集合”,集合这一概念在数学中被广泛运用,集合语言是近现代数学的基本语言,利用它可以简洁、准确地表述数学对象.那么,我们不禁要问:集合的含义是什么?
二、学生活动
1.让同学介绍自己的家庭、现在的班级等情况.
2.问题:像“家庭”、 “班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征?
三、建构数学
1.集合的含义:一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成成为一个集合(set).集合中的每一个对象称为该集合的元素(element).
如“中国的直辖市”构成一个集合,该集合的元素就是北京、上海、天津、重庆这四个城市.
“Young中的字母” 构成一个集合,该集合的元素就是y,o,u,n,g这五个字母.
“book中的字母” 也构成一个集合,该集合的元素就是b,o,k这三个字母.
,所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集.
方程或2,1与2组成的集合称为方程的解集.
自然数的集合 0,1,2,3,……
2.集合中的元素的性质
讨论归纳:确定性、互异性、无序性
介绍数学家
专门研究集合的理论叫做集合论,康托尔(G.Cantor)是集合论的创始者,目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域.(阅读材料)
3.集合的表示:
①常用大写拉丁字母表示集合:集合A,集合B(引进记号是为了表述和运算的方便)
②常用数集及其记法:
自然数集(即非负整数集) 记作:
整数集
正整数集 或
有理数集
实数集
③表示集合的方式:
列举法:如{北京,上海,天津,重庆}.(优点以及局限性讨论)
{北京,上海,天津,重庆}={天津,重庆,北京,上海}(集合相等的意义)
描述法:将集合的所有元素都具有的性质表示出来,写成的形式;如:
用文恩(Venn)图
说明:一个集合可以有不同的表示形式.如:
4.关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:是集合的元素,就说属于集,记作,相反,不属于集 记作.举例,.
5.集合的分类:
有限集(finite set) 无限集(infinite set) 空集
四、数学运用
1.例题
例1.求不等式的解集.
例2.求方程所有实数解的集合.
2.练习
作为练习,可以讨论P7练习4
五、总结反思
拓展延伸:
1.记关于的方程的解集为,若中的元素
有且只有一个,求值.若求值.
2.集合中的元素应满足什么条件?
3.若集合中的元素均可表示成形如
的形式,判断下列三个对象与集合之间的关系:
(1)0;(2);(3)
4.设集合中的元素为实数,且满足,且.
(1)若,求;(2)能否为单元素集?若能,把它求出来;
(3)证明:若,则.
分析:(1)得,得得,因此
(2)能否为单元素集,则,即无解,因此不可能.
(3),再代入可得.
六、练习与作业:P7练习题1,2,3
阅读材料
集合论的创立与康托尔的遭遇
19世纪末期,数学界出现了一件引人注目的事情。一位名叫康托尔(G.Cantor,1845-1918)的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论集合论。它的内容是如此与常识格格不入,以致于一出世就引起了一场轩然大波。
集合论的出现,向人们展示了一个由无穷数量关系组成的新奇世界。康托尔是凭着探险家的勇气闯入这个新奇世界的。他发现了许多简直难以置信的事情。
康托尔是在研究微积分理论的逻辑基础问题时,开始着手创立集合论的。自从17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分理论体系之后,在近一二百年时间里,微积分理论一直缺乏一个严格的逻辑基础。它的一些基本概念的表述,还有某些混乱和自相矛盾之处。从19世纪开始,柯西、魏尔斯特拉斯等人进行了微积分理论严格化的工作。他们建立了极限理论,并把极限理论的基础归结为实数理论。那么,实数理论的基础又该是什么呢?康托尔试图用集合论来作为实数理论,以至整个微积分理论体系的基础。
出于这一目的,康托尔用集合的观点重新考察各种数量关系,特别是无穷数量关系。他发现,无穷集合有着有穷数量关系所不具备的性质。比如,在无穷集合领域,所有整数和所有偶数之间是一一对应的,所有理数和所有整数之间是一一对应的,平面上所有的点和线段上所有的点是一一对应的,
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