1)一元二次方程和二次函数.docVIP

中考数学专题1 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲 【例1】已知：关于的方程． ⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数的图象关于轴对称． ①求二次函数的解析式； ②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式． 【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果. 【解析】 解：（1）分两种情况： 当时，原方程化为，解得， （不要遗漏） ∴当，原方程有实数根. 当时，原方程为关于的一元二次方程， ∵. ∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了） 综上所述，取任何实数时，方程总有实数根. （2）①∵关于的二次函数的图象关于轴对称， ∴.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ∴. ∴抛物线的解析式为. ②∵，（判断大小直接做差） ∴（当且仅当时，等号成立）. （3）由②知，当时，. ∴、的图象都经过. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） ∵对于的同一个值，， ∴的图象必经过. 又∵经过， ∴. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算） 设. ∵对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立， ∴， ∴. 又根据、的图象可得 ， ∴.（a0时,顶点纵坐标就是函数的最小值） ∴. ∴. 而. 只有，解得. ∴抛物线的解析式为. 【例2】关于的一元二次方程. （1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. 【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能. 【解析】： （1）由题意得 解得 解得 当且时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得 解得（舍） (始终牢记二次项系数不为0) （3）抛物线的对称轴是 由题意得 (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 与抛物线有且只有一个交点 (这种情况考试中容易遗漏) 另设过点的直线（） 把代入，得， 整理得 有且只有一个交点， 解得 综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有， 【例3】 已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点． （1）求的值； （2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值． 【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组， 十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。 第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。 【解析】 (1)因为点P 、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等． 所以，抛物线对称轴，所以，． （2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0． 因为，=16-