1.2.3一元二次函数和一元二次方程.docVIP

1.2.3 一元二次函数与一元二次方程 目标：一元二次不等式、分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法 一.二次函数的回顾 1.定义：形如的函数称为一元二次函数. 2.关于二次函数的图象 ①.二次函数的图象是抛物线，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下. ②.二次函数图象（抛物线）的对称轴是直线. ③.二次函数图象（抛物线）的顶点坐标是. ④.求二次函数图象（抛物线）与轴的交点，只要在函数方程 中令，解得交点的纵坐标为，从而交点坐标为. ⑤.求二次函数图象（抛物线）与轴的交点，只要在函数方程 中令函数值，解方程即得交点的横坐标，从而得到交点坐标为. 因此一元二次方程的实数根也称为函数 的零点. 1 3 4 X Y 一般地，方程的实数根又叫做函数的零点，几何上它所表示的是函数图象与轴交点的横坐标，代数上所谓函数的零点，就是使得函数值为0的. 例1.函数的图象如图所示. ①.写出方程的根 和函数的零点； ②.求出的值. 二.一元二次方程的回顾 ①.定义：形如的方程称为一元二次方程. ②.记，则： 当时方程有两个不相等的实根；相应的二次函数图象（抛物线）与轴有两个交点. 当时方程有两个相等的实根；相应的二次函数图象（抛物线）与轴有两个重合交点（与轴相切）. 当时方程无实根. 相应的二次函数图象（抛物线）与轴无交点. ③.韦达定理：在时，方程的两根满足、. 三.一元二次不等式的解法------数形结合的直接应用 以为例，解不等式实际上就是寻求使得的的全体. （注：是什么？就是二次函数中的，就是，就是.） 具体过程如下： 1. 计算. ①如果，则方程有两根，求出两根，相应地二次函数的图象与轴有两个交点. ②如果，则方程有两个相等的根，求出这相等的两根，相应地二次函数的图象与轴有两个重合的交点（与轴相切）. ③如果，则方程没有实根，相应地二次函数的图象与轴没有交点. 2.作图：根据“1”的结果作出相应的二次函数的图象. X ①如果，则： X ②如果，则： X X X ③如果，则： X 3.根据目标（寻求使得的的全体），结合图象写出解集. 分析以上过程，我们可以看到，解一元二次不等式打的目标就是：寻求使得的的全体（解集）.其过程就是：解方程——画图——结合图形写解集. 例2.解下列不等式. ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. 四.分式不等式的解法 分式不等式经过移项、通分化简后，都可以化为以下四种形式. ①. . ②. . ③. ，且 . ④. 且 . 例3.解下列不等式. 五.坐标标定法 高次不等式的解通常用------坐标标定法，具体方法如下： ①.将分解为若干个一次因式的积； ②.将每个一次因式的根标在数轴上； ③.从最右上方开始依次通过每一个点画曲线（曲线是否穿过轴遵循：“奇过偶不过”的原则）； ④.根据曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集. 例4.解下列不等式. ①. ②. ③. ④. ⑤.. 六.小结 解不等式作为一种基本技能，在我们以后的学习中是必不可少的，不同类型的不等式有不同的解法，但如果把不等式的解和函数的取值联系起来，应用数形结合的思想，则最终都可以化为寻求使得的的全体这样一个问题来加以解决. 七.典型例题 A B O 1.如图所示为二次函数 的图象，则等于 （ ） A. B. C. D.无法确定 2.若方程的两根都大于2， 则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 3.已知函数，在上存在， 使得，则实数的范围是 （ ） A. B. C. D. 4.已知函数的 图象如图所示，则 （ ） A. B. C. D. 5.设二次函数，若， 则的值为 （ ） A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能 6.已知为二次函数，且，，， 求函数的解析式. 7.若函数只有一个零点，求实数的取值范围. 8.设集合，. 求. 9.若已知函数的两个零点分别位于区间和内，求实数的取值范围. 10.若二次函数的图象与